双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线=1的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵双曲线=1的渐近线方程为y=x，

则=，即，

∴a=3，半焦距，

∴，

故选：D．

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题型：简答题

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简答题

如图，F1，F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，其渐近线方程为y=±kx（k＞0），且该双曲线的离心率e=k．

（1）求该双曲线的离心率；

（2）若a=1，双曲线上的一点B满足以F1B为直径的圆过点A（，-）．求证：AB平分∠F1BF2．

正确答案

（1）解：双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，

由渐近线方程为y=±kx（k＞0），且该双曲线的离心率e=k，

则有k=，e==，即有c2=2b2=2（c2-a2），即有c2=2a2，

则有离心率e=；

（2）证明：由a=1，e=，可得，c=，b=1．

则双曲线方程为x2-y2=1，F1（-，0），F2（，0），

设B（m，n），则由以F1B为直径的圆过点A，

即有AB⊥F1A，则=-1，

即有3m-n=2，又m2-n2=1．

解得，m=，n=．

则B（，），

则有kAB==3，==，==-1．

则F1B到AB的角的正切为=2，AB到F2B的角的正切为=2，

则有∠ABF1=∠ABF2，即有AB平分∠F1BF2．

解析

（1）解：双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，

由渐近线方程为y=±kx（k＞0），且该双曲线的离心率e=k，

则有k=，e==，即有c2=2b2=2（c2-a2），即有c2=2a2，

则有离心率e=；

（2）证明：由a=1，e=，可得，c=，b=1．

则双曲线方程为x2-y2=1，F1（-，0），F2（，0），

设B（m，n），则由以F1B为直径的圆过点A，

即有AB⊥F1A，则=-1，

即有3m-n=2，又m2-n2=1．

解得，m=，n=．

则B（，），

则有kAB==3，==，==-1．

则F1B到AB的角的正切为=2，AB到F2B的角的正切为=2，

则有∠ABF1=∠ABF2，即有AB平分∠F1BF2．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　）

Ay=±2x

By=±x

Cy=±x

Dy=±x

正确答案

D

解析

解：由双曲线的离心率为，

则e==，即c=a，

b===a，

由双曲线的渐近线方程为y=x，

即有y=x．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

（2015•滕州市校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在双曲线=1的右支上，则等于______．

正确答案

解析

解：∵双曲线=1中，a=3，b=

∴c==4，

∴A、C恰好是双曲线的左右焦点，焦距|AC|=8

根据双曲线的定义，得||AB|-|CB||=2a=6，

∵顶点B在双曲线=1的右支上，

∴|AB|-|CB|=6，

△ABC中，根据正弦定理，得==，

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：由双曲线可得渐近线方程为．

∵两条渐近线互相垂直，

∴，解得a=b．

该双曲线的离心率e==．

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线．

（1）求焦点F1，F2的坐标；并求出焦点F2到渐近线的距离；

（2）若P为双曲线上的点且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积S．

正确答案

解：（1）由题意得：a2=9，b2=16，

∴c=5，

焦点F1，F2的坐标：F1（-5，0），F2（5，0）；

焦点F2到渐近线：y=的距离：d=；

（2）设|PF1|=m，|PF2|=n由题知：m-n=6①

②

由①②得

所以

解析

解：（1）由题意得：a2=9，b2=16，

∴c=5，

焦点F1，F2的坐标：F1（-5，0），F2（5，0）；

焦点F2到渐近线：y=的距离：d=；

（2）设|PF1|=m，|PF2|=n由题知：m-n=6①

②

由①②得

所以

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线c：=1（a＞b＞0），以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N（异于原点O），若|MN|=2a，则双曲线C的离心率是（　　）

A

B

C2

D

正确答案

C

解析

解：连接NF，设MN交x轴于点B

∵⊙F中，M、N关于OF对称，

∴∠NBF=90°且|BN|=|MN|==，

设N（m，），可得=，得m=

Rt△BNF中，|BF|=c-m=

∴由|BF|2+|BN|2=|NF|2，得（）2+（）2=c2

化简整理，得b=c，可得a=，故双曲线C的离心率e==2

故选：C

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题型：单选题

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单选题

已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线C的虚轴长为2，实轴长为4，则双曲线C的方程是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由题意设双曲线的方程为，（a，b＞0）．

∵2b=2，2a=4，

解得a=2，b=1．

∴要求的双曲线方程为．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

过双曲线x2-y2=1的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（　　）

A[0，π）

B（，）

C（，）∪（，）

D（0，）∪（，π）

正确答案

B

解析

解：设直线y=k（x-），与双曲线方程联立，消去y，可得（1-k2）x2+2k2x-2k2-1=0

∵x1x2＞0

∴＞0，

∴k2＞1，即k＞1或者k＜-1①

又x1+x2＞0，∴＞0，可得k＞1或者k＜-1，②

又△=（8k4）-4（1-k2）（-2k2-1）＞0解得k∈R③

由①②③知k的取值范围是k＜-1或k＞1．

又斜率不存在时，也成立，

∴＜α＜．

故选：B．

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线C：-=1的离心率为2，A，B为左右顶点，P为双曲线右支上一点，PA的斜率为k1，O为原点，PO斜率为k2，PB的斜率为k3，则m=k1k2k3．则m的取值范围为______．

正确答案

解：由题意可得e==2，A（-a，0），B（a，0），

设P（s，t），（s＞0），即有-=1，

则k1=，k2=，k3=，

k1k3==•b2•=，

则有m=k1k2k3=•，

由双曲线的渐近线方程为y=±x，

即有-＜＜，

由c=2a，可得b=a，

则m的范围是（-3，3）．

故答案为：（-3，3）．

解析

解：由题意可得e==2，A（-a，0），B（a，0），

设P（s，t），（s＞0），即有-=1，

则k1=，k2=，k3=，

k1k3==•b2•=，

则有m=k1k2k3=•，

由双曲线的渐近线方程为y=±x，

即有-＜＜，

由c=2a，可得b=a，

则m的范围是（-3，3）．

故答案为：（-3，3）．

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