热门试卷

证明：设F1（c，0），

当AB斜率不存在时，则有AB：x=-c，

圆心为（-c，0），且到左准线x=-的距离为d=c-=，

将x=-c代入双曲线方程可得y=，

则圆的半径为r=，cos∠CF1O===，

则cos∠CF1D=cos2∠CF1O=-1，

当AB的斜率存在时，设AB：y=k（x+c），

代入双曲线方程可得（b2-a2k2）x2-2ca2k2x-a2c2k2-a2b2=0，

x1+x2=，

则圆心M到左准线的距离为d‘=--=，

直径AB=AF1+BF1=e（--x1）+e（--x2）=-2a-e（x1+x2）

=-2a-•=，

半径r'=，

则有cos∠CMO==，即有cos2∠CMO=-1，

cos∠CMD=-1，

综上可得，CD所对的圆心角的度数为定值，

且为arccos（-1）．

解：（Ⅰ）设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则|r1-r2|=10①…（2分）

由余弦定理可得②，

①2-②得r1r2=36…（4分）

∴=r1r2sin60°==9        …（6分）

（Ⅱ）由已知可设双曲线C的方程为…（8分）

将点坐标代入方程得：…（10分）

∴双曲线C方程为：…（12分）

解：由条件知F1（-2，0），F2（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）

（Ⅰ）设M（x，y），则，，，

由，得，即，

于是AB的中点坐标为，

当AB不与x轴垂直时，，即，

又因为A，B两点在双曲线上，所以x12-y12=2，x22-y22=2，

两式相减得（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2），即（x1-x2）（x-4）=（y1-y2）y，

将代入上式，化简得（x-6）2-y2=4，

当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（8，0），也满足上述方程，

所以点M的轨迹方程是（x-6）2-y2=4．

（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C（m，0），使为常数，

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1），

代入x2-y2=2有（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0

则x1，x2是上述方程的两个实根，所以，，

于是

=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2

=

=

=．

因为是与k无关的常数，所以4-4m=0，即m=1，此时=-1，

当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为，，

此时，

故在x轴上存在定点C（1，0），使为常数．

解：（1）设过P（1，2）点的直线AB方程为y-2=k（x-1），

代入双曲线方程得

（2-k2）x2+（2k2-4k）x-（k4-4k+6）=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则有x1+x2=-，

由已知=xp=1，

∴=2．解得k=1．

又k=1时，△=16＞0，从而直线AB方程为x-y+1=0．

（2）证明：按同样方法求得k=2，

而当k=2时，△＜0，

所以这样的直线不存在．