双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

中心在原点，焦点在x轴，直线y=x+1与该双曲线所截得的弦长为|PQ|=4，且以PQ为直径的圆过原点，求双曲线的方程．

正确答案

解：设双曲线的方程为mx2-ny2=1（m＞0，n＞0）．

直线y=x+1，代入mx2-ny2=1可得（m-n）x2-2nx-n-1=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

则x1+x2=，x1x2=．

由PQ为直径的圆过原点，可得⊥，∴x1x2+y1y2=2x1x2+（x1+x2）+1=0，

∴m-n=2①

由|PQ|=4，得•=4②，

∴由①②可得n=-1，m=+1．

故所求双曲线方程为（+1）x2-（-1）y2=1．

解析

解：设双曲线的方程为mx2-ny2=1（m＞0，n＞0）．

直线y=x+1，代入mx2-ny2=1可得（m-n）x2-2nx-n-1=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

则x1+x2=，x1x2=．

由PQ为直径的圆过原点，可得⊥，∴x1x2+y1y2=2x1x2+（x1+x2）+1=0，

∴m-n=2①

由|PQ|=4，得•=4②，

∴由①②可得n=-1，m=+1．

故所求双曲线方程为（+1）x2-（-1）y2=1．

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题型：单选题

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单选题

设F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点P，使（+）•=0（O为原点）且|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（　　）

A

B-1

C+1

D

正确答案

C

解析

解：取PF2的中点A，则+=2，

∵（+）•=0，∴2•=0，

∴⊥，

∵O是F1F2的中点，

∴OA∥PF1，

∴PF1⊥PF2，

∵|PF1|=|PF2|，

∴2a=|PF1|-|PF2|=（-1）|PF2|，

∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，

∴c=|PF2|，

∴e===+1．

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：由题意，=（-x0，-y0）•（--x0，-y0）=x02-3+y02=3y02-1＜0，

所以-＜y0＜．

故选：A．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为4，过右焦点F作直线交该双曲线的右支于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若|MN|=10，则|HF|=（　　）

A14

B16

C18

D20

正确答案

D

解析

解：设弦MN的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=，

由e==4，即c=4a，b==a．

直线MN的方程为y=k（x-c），代入双曲线的方程，

可得（b2-a2k2）x2+2ca2k2x-a2c2k2-a2b2=0，

即为（15a2-a2k2）x2+8a3k2x-16a4k2-15a4=0，

x1+x2==．

则由双曲线的第二定义可得|MN|=|MF+|NF|=4（x1-）+4（x2-）

=4（x1+x2）-2a=10，

即有=10+2a，即k2-15=3a（1+k2），①

则m=，n=k（m-4a）=，

弦MN的中垂线方程为y-n=-（x-m），

可得H（，0），

则|HF|=|-4a|=60a•||，

由①可得，|HF|=60a•=20．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

双曲线的渐近线方程是______．

正确答案

y=±x

解析

解：双曲线，

∴a=2，b=3，焦点在x轴上，

故渐近线方程为 y=±x=±x，

故答案为 y=±．

1

题型：单选题

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单选题

（2016•福建模拟）已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a，

∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，

∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°，

由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2•4a•2a•cos60°，

∴c=a，

∴e==．

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图（1），（2），（3）中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3．则e1、e2、e3的大小关系为______．

正确答案

e1=e3＞e2

解析

解：①设等边三角形的边长为2，以底边为x轴，以底边的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

则双曲线的焦点为（±1，0），且过点（），

∵点（）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是=和=1，

∴a=，c=1，∴e1=+1．

②正方形的边长为，分别以两条对角线为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，

则双曲线的焦点坐标为（-1，0）和（1，0），且过点（）．

∵点（）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是=和=，

∴a=，c=1，∴e2=．

③设正六边形的边长为2，以F1F1所在直线为x轴，以F1F1的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

则双曲线的焦点为（-2，0）和（2，0），且过点（1，），

∵点（1，）到两个焦点（-2，0）和（2，0）的距离分别为2和2，

∴a=-1，c=2，∴e3=+1，

∴e1=e3＞e2．

故答案为：e1=e3＞e2．

1

题型：简答题

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简答题

已知a＞0，设p：函数y=ax在R上单调递减；命题q：方程表示的曲线是双曲线，如果“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围．

正确答案

解：若p为真，则0＜a＜1，

若q为真，则（a-2）（a-0.5）＜0，解得0.5＜a＜2

∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p真q假，或p假q真

若p真q假，则，∴0＜a≤0.5

若p假q真，则，∴1≤a＜2．

综上所述，a∈（0，0.5]∪[1，2）

解析

解：若p为真，则0＜a＜1，

若q为真，则（a-2）（a-0.5）＜0，解得0.5＜a＜2

∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p真q假，或p假q真

若p真q假，则，∴0＜a≤0.5

若p假q真，则，∴1≤a＜2．

综上所述，a∈（0，0.5]∪[1，2）

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1左支上一点M到右焦点F的距离为16，N是线段MF的中点，O为坐标原点，则|ON|的值是______．

正确答案

3

解析

解：由题意，连接MF1，则ON是△MF1F2的中位线，∴ON∥MF1，ON=MF1，

∵左支上一点M到右焦点F2的距离为16，

∴由双曲线的定义知，|MF2|-|MF1|=2×5，∴|MF1|=6．

∴|ON|=3，

故答案为：3．

1

题型：单选题

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单选题

如图，F1，F2是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C2

D

正确答案

B

解析

解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，

不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，

∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，

∴∠ABF2=90°，

又由双曲线的定义得：|BF1|-|BF2|=2a，|AF2|-|AF1|=2a，

∴|AF1|+3-4=5-|AF1|，

∴|AF1|=3．

∴|BF1|-|BF2|=3+3-4=2a，

∴a=1．

在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，

又|F1F2|2=4c2，

∴4c2=52，

∴c=．

∴双曲线的离心率e==．

故选B．

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