双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线右顶点，右焦点分别为A（a，0），F（c，0），若在直线x=上存在点P使得∠APF=30°，则该双曲线离心率的取值范围是______．

正确答案

[2，+∞）

解析

解：设直线x=与x轴的交点为H，

设P（，t）（t＞0），

则tan∠APF=tan30°=tan（∠HPF-∠HPA）=

==≤，

即有≤=，

即有3e2-4e-4≥0，

解得，e≥2．

故答案为：[2，+∞）

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•安庆校级期中）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点是以F1F2为直径的圆与双曲线的一交点．

（1）求双曲线的方程；

（2）若P为该双曲线上任意一点，直线PF1、PF2分别交双曲线于M、N两点，，，请判断λ1+λ2是否为定值，若是，求出该定值；若不是请说明理由．

正确答案

解：（1）∵双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，

∴F1（-c，0），F2（c，0）；

又点是以F1F2为直径的圆与双曲线的一交点，

∴⊥，即•=0，

∴（-c-）（c-）+=0，

解得c=2；

∴||==+，

||==-；

∴||-||=2a=2，

解得a=；

∴b===1，

∴双曲线的方程为-y2=1；

（2）设点P（x0，y0），

∵，

∴-=λ（-），

∴=-=（-，-）；

同理，由，得

=（，-）；

把M、N的坐标代入双曲线方程，得

，

即；

消去x0，得

4（1+λ2）+4（1+λ1）=3（-1）（1+λ2）+3（-1）（1+λ1），

即4（1+λ1）（1+λ2）（λ1+λ2+2）=3（1+λ1）（1+λ2）（λ1+λ2-2）；

∵（1+λ1）（1+λ2）≠0，

∴4（λ1+λ2+2）=3（λ1+λ2-2），

解得λ1+λ2=-14；即λ1+λ2为定值．

解析

解：（1）∵双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，

∴F1（-c，0），F2（c，0）；

又点是以F1F2为直径的圆与双曲线的一交点，

∴⊥，即•=0，

∴（-c-）（c-）+=0，

解得c=2；

∴||==+，

||==-；

∴||-||=2a=2，

解得a=；

∴b===1，

∴双曲线的方程为-y2=1；

（2）设点P（x0，y0），

∵，

∴-=λ（-），

∴=-=（-，-）；

同理，由，得

=（，-）；

把M、N的坐标代入双曲线方程，得

，

即；

消去x0，得

4（1+λ2）+4（1+λ1）=3（-1）（1+λ2）+3（-1）（1+λ1），

即4（1+λ1）（1+λ2）（λ1+λ2+2）=3（1+λ1）（1+λ2）（λ1+λ2-2）；

∵（1+λ1）（1+λ2）≠0，

∴4（λ1+λ2+2）=3（λ1+λ2-2），

解得λ1+λ2=-14；即λ1+λ2为定值．

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题型：填空题

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填空题

以椭圆短轴的两个顶点为焦点，且过点A（4，-5）的双曲线的标准方程是______．

正确答案

解析

解：椭圆短轴的两个顶点为（0，±3），

∴双曲线的焦点为（0，±3）．

∵双曲线过点A（4，-5），

∴2a==2，

∴a=，

∵c=3，

∴b==2，

∴所求双曲线的标准方程是．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•武进区期中）顶点在原点且以双曲线的左准线为准线的抛物线方程是______．

正确答案

y2=6x

解析

解：由双曲线的左准线为x=-，

设顶点在原点且以双曲线的左准线为准线的抛物线方程为y2=2px（p＞0），

则=，

所以抛物线方程是y2=6x．

故答案为：y2=6x．

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题型：单选题

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单选题

双曲线-=1的焦距是（　　）

A8

B4

C2

D2

正确答案

A

解析

解：双曲线-=1中a=2，b=2，

∴c=4，

∴焦距是2c=8．

故选：A．

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题型：填空题

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填空题

若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围为______．

正确答案

（-3，0）

解析

解：∵方程表示焦点在y轴上的双曲线，

∴，

解得-3＜m＜0．

∴m的取值范围为（-3，0）．

故答案为：（-3，0）．

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题型：填空题

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填空题

若圆x2+y2=r2过双曲线-=1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A、B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为______．

正确答案

2

解析

解：由题意，直线的一条渐近线方程斜率为，

∴=，

∴e==2，

故答案为：2．

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题型：单选题

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单选题

（2015•琼海校级模拟）已知F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

A（1，2）

B（2，1+）

C（，1）

D（1+，+∞）

正确答案

A

解析

解：根据双曲线的对称性，得

△ABE中，|AE|=|BE|，

△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，

由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，

得|AF|＜|EF|

∵|AF|==，|EF|=a+c，

∴＜a+c，即2a2+ac-c2＞0，

两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，

∵双曲线的离心率e＞1，

∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知F1，F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，动点P在双曲线的右支上（P点不在x轴上），△PF1F2的内切圆（I为圆心）与x轴切于E点．

（1）求证：E点是双曲线的右顶点；

（2）过F2作直线PI的垂线，且交直线PI于M点，求点M的轨迹方程．

正确答案

（1）证明：∵点P是双曲线右支上一点，

∴按双曲线的定义，|PF1|-|PF2|=2a，

设E（x，0），B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．考虑到同一点向圆引得两条切线相等：

则有：PF1-PF2=（PB+BF1）-（PC+CF2）=BF1-CF2=EF1-F2E

=（c+x）-（c-x）=2x=2a

∴x=a

∴E（a，0）．

∴E点是双曲线的右顶点；

（2）解：在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，

∴在三角形F1CF2中，有：

OM=CF1=（PF1-PC）=（PF1-PF2）=×2a=a．

∴点M的轨迹方程是x2+y2=a2．

解析

（1）证明：∵点P是双曲线右支上一点，

∴按双曲线的定义，|PF1|-|PF2|=2a，

设E（x，0），B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点．考虑到同一点向圆引得两条切线相等：

则有：PF1-PF2=（PB+BF1）-（PC+CF2）=BF1-CF2=EF1-F2E

=（c+x）-（c-x）=2x=2a

∴x=a

∴E（a，0）．

∴E点是双曲线的右顶点；

（2）解：在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，

∴在三角形F1CF2中，有：

OM=CF1=（PF1-PC）=（PF1-PF2）=×2a=a．

∴点M的轨迹方程是x2+y2=a2．

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题型：单选题

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单选题

若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　）

Ay=±2x

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由双曲线的离心率，可知c=a，

又a2+b2=c2，所以b=a，

所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．

故选B．

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