双曲线_章节学习

1

题型：单选题

|

单选题

双曲线=1的渐近线的方程是（　　）

Ay=±x

By=±x

Cy=±x

Dy=±x

正确答案

C

解析

解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，

即得的渐近线方程为=0，

化简可得，

故选C．

1

题型：填空题

|

填空题

如图，已知|AB|=10，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n，…．利用这两组同心圆可以画出以A、B为焦点的双曲线．若其中经过点M、N、P的双曲线的离心率分别是eM，eN，eP．则它们的大小关系是______（用“＜”连接）．

正确答案

eM＜eP＜eN

解析

解：由题意可知：所有的双曲线的焦距一定为|AB|=10 即2c=10

∴c=5

一下是各点的对应表：【指经过该点的圆的半径】

以A为圆心的圆的半径以B为圆心的圆的半径

对P：7 3

对M：2 10

对N：5 7

所以由椭圆的第一定义得到：

对过P点的双曲线：||PA|-|PB||=2a=|7-3|=4 a=2 eP==

对过M点的双曲线：||MA|-MB||=2a=|2-10|=8 a=4 eM=

对过N点的双曲线：||NA|-|NB||=2a=|5-7|=2 a=1 eN=5

所以显而易见：eN＞eP＞eM

故答案为：eM＜eP＜eN

1

题型：简答题

|

简答题

双曲线-=1的焦点为F1，F2，点P为双曲线上一点，且PF2⊥F1F2，∠PF1F2=．

（1）求双曲线的离心率；

（2）求双曲线的渐近线方程．

正确答案

解：（1）设双曲线的焦距长为2c

∵点P为双曲线上一点，且PF2⊥F1F2，∠PF1F2=，

∴|PF1|=c，|PF2|=c

∴|PF1|-|PF2|=（-1）c=2a

∴e===+1；

（2）c=（+1）a，b==a，

∴双曲线的渐近线方程y=±x．

解析

解：（1）设双曲线的焦距长为2c

∵点P为双曲线上一点，且PF2⊥F1F2，∠PF1F2=，

∴|PF1|=c，|PF2|=c

∴|PF1|-|PF2|=（-1）c=2a

∴e===+1；

（2）c=（+1）a，b==a，

∴双曲线的渐近线方程y=±x．

1

题型：简答题

|

简答题

已知双曲线C过点（2，3），它的一条渐近线是y=x，求双曲线C的方程．

正确答案

解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=x，

设双曲线方程为y2-2x2=λ（λ≠0），

∵双曲线过点P（2，3），

∴9-8=λ，即λ=1．

∴所求双曲线方程为y2-2x2=1．

解析

解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=x，

设双曲线方程为y2-2x2=λ（λ≠0），

∵双曲线过点P（2，3），

∴9-8=λ，即λ=1．

∴所求双曲线方程为y2-2x2=1．

1

题型：单选题

|

单选题

若双曲线的一条渐近线方程为．则此双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵双曲线的一条渐近线方程为，

∴=，

∴，

∴=，

∴

故选B．

1

题型：填空题

|

填空题

（2015秋•盐城校级月考）已知F（c，0）是双曲线的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线方程为，

∴双曲线的渐近线方程为y=x，即bx±ay=0

又∵圆的圆心为F（c，0），半径为c

∴由双曲线C的渐近线与圆E相切，得=c，

整理，得b=c，即=c，可得c=a

∴双曲线C的离心率e==

故答案为：

1

题型：单选题

|

单选题

已知点P为双曲线（a，b＞o），被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，1），该双曲线离心率是（　　）

A2

B

C

D

正确答案

B

解析

解：设弦的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），

代入双曲线方程并作差整理得：，将斜率为1，弦的中点为（4，1）代入，∴a2=4b2，∴c2=5b2，∴，

故选B．

1

题型：单选题

|

单选题

已知抛物线y2=8x的准线与双曲线交于A、B两点，点M为双曲线的右顶点，若△MAB为直角三角形，则双曲线的离心率等于（　　）

A

B

C3

D4

正确答案

B

解析

解：依题意可知M（1，0），抛物线的准线方程为x=-2，

把x=-2代入双曲线求得y=±a

根据双曲线的对称性可知△MAB为等腰直角三角形，

则|y|=2+1=3求得a=，c==2

e==

故选B．

1

题型：简答题

|

简答题

如图，已知双曲线C1：=1（m＞0，n＞0），圆C2：（x-2）2+y2=2，双曲线C1的两条渐近线与圆C2相切，且双曲线C1的一个顶点A与圆心C2关于直线y=x对称，设斜率为k的直线l过点C2．

（1）求双曲线C1的方程；

（2）当k=1时，在双曲线C1的上支上求一点P，使其与直线l的距离为2．

正确答案

解：（1）双曲线C1的两条渐近线方程为：

y=±x，顶点A为（0，）

∵双曲线C1的两渐近线与圆C2：（x-2）2+y2=2相切

∴=

即=1 ①

又∵A（0，）与圆心C2（2，0）关于直线y=x对称

∴=2 ②

由①、②解得：m=n=4

故双曲线C1的方程为：y2-x2=4

（2）当k=1时，由l过点C2（2，0）知：

直线l的方程为：y=x-2

设双曲线C1上支上一点P（x0，y0）到直线l的距离为2，则

y02-x02=4，且=2，

又∵点P（x0，y0）在双曲线C1的上支上，故y0＞0

解得：x0=2，y0=2．

故点P的坐标为（2，2）．

解析

解：（1）双曲线C1的两条渐近线方程为：

y=±x，顶点A为（0，）

∵双曲线C1的两渐近线与圆C2：（x-2）2+y2=2相切

∴=

即=1 ①

又∵A（0，）与圆心C2（2，0）关于直线y=x对称

∴=2 ②

由①、②解得：m=n=4

故双曲线C1的方程为：y2-x2=4

（2）当k=1时，由l过点C2（2，0）知：

直线l的方程为：y=x-2

设双曲线C1上支上一点P（x0，y0）到直线l的距离为2，则

y02-x02=4，且=2，

又∵点P（x0，y0）在双曲线C1的上支上，故y0＞0

解得：x0=2，y0=2．

故点P的坐标为（2，2）．

1

题型：简答题

|

简答题

求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为±；

（2）经过点（3，-2），且一条渐近线的倾斜角为；

（3）焦点在x轴上，过点P（4，-3），且Q（0，5）与两焦点连线互相垂直；

（4）离心率e=，经过点P（-5，3）；

（5）以椭圆+=1的长轴的端点为焦点，且过椭圆焦点．

正确答案

解：（1）设双曲线的标准方程：=1，

∵焦距为8，渐近线斜率为±；

∴c=4，=，

10a2=16，a2=，

b2=，

∴标准方程为：=1，

（2）∵经过点（3，-2），且一条渐近线的倾斜角为；

∴可判断焦点在y轴上，双曲线的标准方程：=1，

∴=1，=，

a=1，b=，

∴标准方程：y2=1，

（3）∵焦点在x轴上，过点P（4，-3），且Q（0，5）与两焦点连线互相垂直；

∴-=1，c=5，a2+b2=c2，

∴a4-66a2+32×25=0，a2=50（舍去），a2=16，b2=9，

∴方程为：=1，

（4）∵离心率e=，经过点P（-5，3）；

∴焦点在x轴上的等轴双曲线，-=1

∴=1，a2=16，

x2-y2=16，

（5）设-=1

∵椭圆+=1的长轴的端点（-2，0）（2，0），焦点为（-2，0）（2，0）

∴c=2，a=2，b=4，

∴=1，

解析

解：（1）设双曲线的标准方程：=1，

∵焦距为8，渐近线斜率为±；

∴c=4，=，

10a2=16，a2=，

b2=，

∴标准方程为：=1，

（2）∵经过点（3，-2），且一条渐近线的倾斜角为；

∴可判断焦点在y轴上，双曲线的标准方程：=1，

∴=1，=，

a=1，b=，

∴标准方程：y2=1，

（3）∵焦点在x轴上，过点P（4，-3），且Q（0，5）与两焦点连线互相垂直；

∴-=1，c=5，a2+b2=c2，

∴a4-66a2+32×25=0，a2=50（舍去），a2=16，b2=9，

∴方程为：=1，

（4）∵离心率e=，经过点P（-5，3）；

∴焦点在x轴上的等轴双曲线，-=1

∴=1，a2=16，

x2-y2=16，

（5）设-=1

∵椭圆+=1的长轴的端点（-2，0）（2，0），焦点为（-2，0）（2，0）

∴c=2，a=2，b=4，

∴=1，

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析