双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线以两坐标轴为对称轴，点（，）是其准线和渐近线的交点，求双曲线的标准方程．

正确答案

解：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为-=1（a，b＞0），

则渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，

由题意可得=，=•，

又a2+b2=c2，

解得a=4，b=3，c=5，

即有双曲线的标准方程为-=1；

若焦点在y轴上，设双曲线的方程为-=1（a‘，b'＞0），

则渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，

由题意可得=，=•，

又a'2+b'2=c'2，

解得a'=4，b'=，

即有双曲线的标准方程为-=1．

综上可得，双曲线的方程为-=1或-=1．

解析

解：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为-=1（a，b＞0），

则渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，

由题意可得=，=•，

又a2+b2=c2，

解得a=4，b=3，c=5，

即有双曲线的标准方程为-=1；

若焦点在y轴上，设双曲线的方程为-=1（a‘，b'＞0），

则渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，

由题意可得=，=•，

又a'2+b'2=c'2，

解得a'=4，b'=，

即有双曲线的标准方程为-=1．

综上可得，双曲线的方程为-=1或-=1．

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题型：简答题

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简答题

若双曲线C与+=1有相同的焦点，与双曲线-=1有相同渐近线．

（1）求双曲线C的方程；

（2）如果过点A（3，0）的直线l与双曲线C只有一个交点，求直线l的方程．

正确答案

解：（1）设双曲线方程为-=λ，即，

∵双曲线C与+=1有相同的焦点，

∴-6λ-2λ=16-4，

∴，

∴双曲线C的方程为；

（2）斜率不存在时，直线x=3满足题意；

斜率存在时，设方程为y=k（x-3），代入双曲线方程，整理可得

（1-3k2）x2+18k2x-27k2-9=0，

1-3k2=0时，k=±，方程为y=±（x-3），满足题意；

1-3k2≠0时，△=（18k2）2-4（1-3k2）（-27k2-9）=36＞0，

∴直线l的方程为x=3或y=±（x-3）．

解析

解：（1）设双曲线方程为-=λ，即，

∵双曲线C与+=1有相同的焦点，

∴-6λ-2λ=16-4，

∴，

∴双曲线C的方程为；

（2）斜率不存在时，直线x=3满足题意；

斜率存在时，设方程为y=k（x-3），代入双曲线方程，整理可得

（1-3k2）x2+18k2x-27k2-9=0，

1-3k2=0时，k=±，方程为y=±（x-3），满足题意；

1-3k2≠0时，△=（18k2）2-4（1-3k2）（-27k2-9）=36＞0，

∴直线l的方程为x=3或y=±（x-3）．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线，（a，b∈R+）的离心率e∈[]，则一条渐近线与实轴所成的角的取值范围是______．

正确答案

解析

解：设经过一、三象限的渐近线与实轴所成的角为θ，则tanθ=．由题意可得 2≤≤4，

∴1≤≤，即 1≤tanθ≤，∴≤θ≤，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知A，B，P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上不同的三个点，且A，B的连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率的乘积kPA•kPB=，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（-x1，-y1）

∴kPA•kPB=，

∵，

∴两式相减可得=，

∵kPA•kPB=，

∴=，

∴e2=1+=，

∴e=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

过双曲线焦点且与实轴垂直的弦的长等于焦点到渐近线的距离，则双曲线的离心率为（　　）

A

B2

C

D

正确答案

D

解析

解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），

可得焦点到渐近线的距离为，过双曲线焦点且与实轴垂直的弦的长等于

∵过双曲线焦点且与实轴垂直的弦的长等于焦点到渐近线的距离，

∴，可得a=2b，c==，

因此双曲线的离心率e=．

故选：D

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为______．

正确答案

y=

解析

解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，

∴===，

∴1+=，

∴=，解得，

∴C的渐近线方程为y==．

故答案为：y=．

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题型：单选题

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单选题

已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C+1

D-1

正确答案

C

解析

解：过P作准线的垂线，垂足为N，

则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，

∵|PA|=m|PB|，

∴|PA|=m|PN|

∴=

设PA的倾斜角为α，则sinα=，

当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，

设直线PM的方程为y=kx-1，代入x2=4y，可得x2=4（kx-1），

即x2-4kx+4=0，

∴△=16k2-16=0，

∴k=±1，

∴P（2，1），

∴双曲线的实轴长为PA-PB=2（-1）

∴双曲线的离心率为=+1．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

若双曲线-=1右支上一点P到右焦点的距离为8，则点P到左焦点的距离是______．

正确答案

16

解析

解：因为点P在右支上，

所以点P到左焦点的距离是8，

所以点P到左焦点的距离=16．

故答案为：16．

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题型：单选题

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单选题

过双曲线M：x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：过双曲线的左顶点A（-1，0）作斜率为1的直线l：y=x+1，

若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2），

联立方程组

代入消元得（b2-1）x2-2x-1=0，

∴，

∴x1+x2=-2x1x2，

又|AB|=|BC|，则B为AC中点，2x1=-1+x2，

代入解得，

∴b2=9，双曲线M的离心率e=，

故选A．

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题型：填空题

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填空题

已知关于x的方程x2+mx+m+n=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率．记分别以m，n为横、纵坐标的点A（m，n）表示的平面区域D．若函数y=loga（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为______．

正确答案

（1，3）

解析

解：构造函数f（x）=x2+mx+m+n

∵关于x的方程x2+mx+m+n=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率

∴方程x2+mx+m+n=0的两根，一根属于（0，1），另一根属于（1，+∞）

∴f（0）＞0，f（1）＜0，∴

∵直线m+n=0，1+2m+n=0的交点坐标为（-1，1）

∴要使函数y=loga（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1＜loga（-1+4）

∴loga3＞1=logaa，

∵a＞1

∴1＜a＜3

故答案为：（1，3）．

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