双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线x2-y2=1，则过P（0，1）与它只有一个公共点的直线有______条．

正确答案

4

解析

解：设过点P（0，1）与双曲线x2-y2=1有且只有一个公共点的直线为y=kx+1，

根据题意：，

消去y整理得（1-k2）x2-2kx-5=0，

由△=0，则k=±，

又注意直线恒过点（0，1），且渐近线的斜率为±1，

则与两渐近线平行时也成立．

故过点（0，1）与双曲线x2-y2=1有且只有一个公共点的直线有4条．

故答案为：4．

1

题型：单选题

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单选题

若双曲线=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7：5的两段，则此双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：y2=2bx的焦点为（），线段F1F2被点（）分成7：5的两段，得，可得双曲线的离心率为，故选C．

1

题型：填空题

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填空题

已知双曲线的左焦点为F1，点P为双曲线右支上一点，且PF1与圆x2+y2=16相切于点N，M为线段PF1的中点，O为坐标原点，则|MN|-|MO|=______．

正确答案

-1

解析

解：∵双曲线中，a=4且b=5，

∴c==．

连结ON、PF2，

∵PF1与圆x2+y2=16相切于点N，∴ON⊥F1P，

在Rt△ONF1中，|F1N|==5

∵△PF1F2中，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|MO|=|PF2|，

由此可得：|MN|-|MO|=|MF1|-|F1N|-|PF2|=（|PF1|-|PF2|）-5

∵点P在双曲线的右支上，可得|PF1|-|PF2|=2a=8，

∴|MN|-|MO|=（|PF1|-|PF2|）-5==-1．

故答案为：-1

1

题型：单选题

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单选题

方程的图象是双曲线，则k取值范围是（　　）

Ak＜1

Bk＞2

Ck＜1或k＞2

D1＜k＜2

正确答案

C

解析

解：由题意可得：方程的图象是双曲线，

所以（2-k）（k-1）＜0，

解得：k＜1或k＞2，

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

若0＜k＜a，则双曲线与有（　　）

A相同的实轴

B相同的虚轴

C相同的焦点

D相同的渐近线

正确答案

C

解析

解：对于双曲线可得c2=a2-k2+b2+k2=a2+b2．

对于也有=a2+b2．

∴两双曲线的半焦距相同，且焦点都x轴上，

∴二双曲线由相同的焦点．

故选C．

1

题型：填空题

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填空题

已知=（2，1），=（2，-1），点P的坐标（x，y）满足方程=1，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则a，b满足的一个等式是______．

正确答案

ab=

解析

解：∵=（2，1），=（2，-1），=a+b，

∴得（x，y）=（2a+2b，a-b），

代入已知方程=1得，化简得4ab=1．

故答案为：ab=．

1

题型：填空题

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填空题

（2015秋•荆州校级期末）已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是______．

正确答案

双曲线靠近B点的那一支

解析

解：设A（-400，0）、B（400，0）、M（x，y）为曲线上任一点，

则||MA|-|MB||=340×2=680＜800．

∴M点轨迹为双曲线靠近B点的那一支．

故答案为：双曲线靠近B点的那一支．

1

题型：简答题

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简答题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）与椭圆+=1有相同的焦点F1，F2，且该双曲线的渐近线方程为y=±x．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）过该双曲线的右焦点F2作斜率不为零的直线与此双曲线的左，右两支分别交于点m、n，设=λ，当x轴上的点G满足⊥（-λ）时，求点G的坐标．

正确答案

解：（1）由题可知：，c=2，c2=a2+b2，解得a2=1．b2=1，

所求双曲线方程为 …（5分）

（2）设过点F2的直线方程为：x=ky+2，

联立方程组，消去x得：（3k2-1）y2+12ky+9=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则 ①…（7分）

由=λ得：λ=-，②

设G（t，0），由=（4，0），及得：

（x1-t-λx2+λt，y1-λy2）•（4，0），即x1-t-λx2+λt=0，③…（10分）

由②，③得ky1+2-t+，

代入上述条件得：t=，即G（，0）．…（13分）

解析

解：（1）由题可知：，c=2，c2=a2+b2，解得a2=1．b2=1，

所求双曲线方程为 …（5分）

（2）设过点F2的直线方程为：x=ky+2，

联立方程组，消去x得：（3k2-1）y2+12ky+9=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则 ①…（7分）

由=λ得：λ=-，②

设G（t，0），由=（4，0），及得：

（x1-t-λx2+λt，y1-λy2）•（4，0），即x1-t-λx2+λt=0，③…（10分）

由②，③得ky1+2-t+，

代入上述条件得：t=，即G（，0）．…（13分）

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•丰城市校级月考）若P点是以A（-3，0）、B（3，0）为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2+y2=9的一个交点，则|PA|+|PB|=（　　）

A4

B2

C2

D3

正确答案

C

解析

解：由题意，AP⊥BP，

即有|PA|2+|PB|2=|AB|2=36，①

由双曲线的定义可得||PA|-|PB||=2a=2，②

②两边平方可得|PA|2+|PB|2-2|PA|•|PB|=20，

即有2|PA|•|PB|=36-20=16，

再由①，可得（|PA|+|PB|）2=36+16=52，

则|PA|+|PB|=2．

故选：C．

1

题型：单选题

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单选题

设F是双曲线-=1的焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线交于P，Q，若=3，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：设F（-c，0），过F作双曲线一条渐近线的垂线方程为y=（x+c），

与y=-x联立可得x=-；与y=x联立可得x=，

∵=3，

∴+c=3（-+c），

∴a2c2=（c2-2a2）（2c2-3a2），

∴e4-4e2+3=0，

∵e＞1，

∴e=．

故选：C．

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正确答案

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