双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知在双曲线=1上有一点P，F1，F2为两焦点．

（1）若PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积及P的坐标；

（2）若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积及P的坐标．

正确答案

解：（1）由题意得，a=4，b=3，c=5，∴F1（-5，0 ）、F2（5，0），

Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1 |-|PF2|）2+2•|PF1|•|PF2 |=4a2+2•|PF1|•|PF2 |，

∴100=4×16+2•|PF1|•|PF2 |，∴|PF1|•|PF2 |=18，

∴△PF1F2面积为|PF1|•|PF2 |=9．

设P（x，y），则=9，∴|y|=，∴|x|=

∴P（，）或P（，-）或P（-，）或P（-，-）；

（2）△PF1F2中，由余弦定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2-•|PF1|•|PF2 |=（|PF1 |-|PF2|）2+|PF1|•|PF2 |=4a2+|PF1|•|PF2 |，

∴100=4×16+|PF1|•|PF2 |，∴|PF1|•|PF2 |=36，

∴△PF1F2面积为|PF1|•|PF2 |=9．

设P（x，y），则=9，∴|y|=，∴|x|=．

∴P（，）或P（，-）或P（-，）或P（-，-）．

解析

解：（1）由题意得，a=4，b=3，c=5，∴F1（-5，0 ）、F2（5，0），

Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1 |-|PF2|）2+2•|PF1|•|PF2 |=4a2+2•|PF1|•|PF2 |，

∴100=4×16+2•|PF1|•|PF2 |，∴|PF1|•|PF2 |=18，

∴△PF1F2面积为|PF1|•|PF2 |=9．

设P（x，y），则=9，∴|y|=，∴|x|=

∴P（，）或P（，-）或P（-，）或P（-，-）；

（2）△PF1F2中，由余弦定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2-•|PF1|•|PF2 |=（|PF1 |-|PF2|）2+|PF1|•|PF2 |=4a2+|PF1|•|PF2 |，

∴100=4×16+|PF1|•|PF2 |，∴|PF1|•|PF2 |=36，

∴△PF1F2面积为|PF1|•|PF2 |=9．

设P（x，y），则=9，∴|y|=，∴|x|=．

∴P（，）或P（，-）或P（-，）或P（-，-）．

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题型：单选题

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单选题

（2015•文昌校级模拟）斜率为的直线与焦点在x轴上的双曲线x2-=1（b＞0）交于不同的两点P、Q．若点P、Q在x轴上的投影恰好为双曲线的两焦点，则该双曲线的焦距为（　　）

A

B2

C2

D4

正确答案

C

解析

解：设斜率为的直线l：y=x+t，

代入双曲线方程，消去y，可得，（b2-）x2-tx-t2-b2=0，

由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，

则有上式的两根分别为-c，c．

则t=0，即有（b2-）c2=b2，由于b2=c2-1，

则有2c4-5c2+2=0，

解得c2=2（舍去），

则c=．焦距为2．

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

双曲线tx2-y2-1=0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线tx2-y2-1=0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，

∴渐近线的斜率为，

∴=，

∴e==．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

（2016春•湖北月考）在双曲线=1（a＞0，b＞0）中，c2=a2+b2，直线x=-与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，且左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围（　　）

A（0，）

B（1，）

C（，1）

D（，+∞）

正确答案

B

解析

解：设双曲线的方程为=1（a＞0，b＞0），则渐近线方程为y=±x，左准线方程为x=-

∵双曲线的左准线与它的两条渐近线交于A，B两点，∴A（-，），B（-，-）

∵左焦点为在以AB为直径的圆内，

∴-+c＜，

∴b＜a

∴c2＜2a2

∴1＜e＜

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（　　）

Ax2+y2-4x-3=0

Bx2+y2-4x+3=0

Cx2+y2+4x-5=0

Dx2+y2+4x+5=0

正确答案

B

解析

解：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），

右准线为x=1，半径为1，圆方程为（x-2）2+y2=1，

即x2+y2-4x+3=0，

故选B．

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题型：填空题

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填空题

若点O和点F（-2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为______．

正确答案

解析

解：由题意可得 c=2，b=1，故 a=．设P（m，n ），则 =1，m≥．

=（m，n ）•（m+2，n）=m2+2m+n2==m2+2m-1 关于

m=-对称，故在[，+∞）上是增函数，当 m=时有最小值为 3+2，无最大值，

故的取值范围为，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上的一点，若，则=______．

正确答案

0

解析

解：∵F1、F2分别是双曲线的左、右焦点

∴△PF1F2中，PO是中线

∴向量=（）

∵

∴

∵双曲线中，a2=9，b2=16

∴⇒F1F2=10

∴△PF1F2中，中线PO等于F1F2的一半

∴△PF1F2是以P为直角三角形，且∠F1PF2=90°

∴

故答案为：0

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题型：简答题

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简答题

求下列直线与双曲线的交点坐标：

（1）2x-y-10=0，-=1；

（2）4x-3y-16=0，-=1．

正确答案

解：（1）由消去y，得3x2-32x+84=0，解得x=6或，

由x=6可得y=2，由x=可得y=-，即有交点坐标为（6，2），（，-）；

（2）由消去y，得16x2-200x+625=0，解得x1=x2=．

求得y1=y2=3，即有交点坐标为（，3）．

解析

解：（1）由消去y，得3x2-32x+84=0，解得x=6或，

由x=6可得y=2，由x=可得y=-，即有交点坐标为（6，2），（，-）；

（2）由消去y，得16x2-200x+625=0，解得x1=x2=．

求得y1=y2=3，即有交点坐标为（，3）．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•大连校级期中）已知动点P在双曲线x2-y2=1上，定点A（m，0）（m＞0），求|PA|的最小值以及取最小值时P点的横坐标．

正确答案

解：设P（x，y），则

|PA|==，

∴0＜m＜2时，x=，|PA|的最小值为；

m≥2时，x=1，|PA|的最小值为m-1．

解析

解：设P（x，y），则

|PA|==，

∴0＜m＜2时，x=，|PA|的最小值为；

m≥2时，x=1，|PA|的最小值为m-1．

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题型：单选题

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单选题

抛物线y2=8x与双曲线=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（　　）

A2

B

C

D4

正确答案

A

解析

解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）．

∵抛物线y2=8x与双曲线=1的一个焦点重合，

∴a2+3=4，

∴|a|=1，∴c=2，

∴双曲线的离心率为2．

故选：A．

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