双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线x2-ky2=1的一个焦点是，则其渐近线方程为______．

正确答案

y=±2x

解析

解：双曲线x2-ky2=1化成标准方程得x2-=1，

得a2=1，b2=，

∴c=

∵双曲线的一个焦点是（，0），

∴=，解之得k=，双曲线方程为x2-=1，

得a=1，b=2

∴该双曲线的渐近线方程为y=±x，即y=±2x

故答案为：y=±2x．

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线x2-y2=1及点A（，0）．

（1）求点A到双曲线一条渐近线的距离；

（2）已知点O为原点，点P在双曲线上，△POA为直角三角形，求点P的坐标．

正确答案

解：（1）双曲线的一条渐近线是x-y=0，

由点到直线距离公式，A点到一条渐近线的距离是；

（2）当∠OAP=90°，时，点P的横坐标为，代入双曲线x2-y2=1得：y=，

∴点P的坐标（，）．

当∠OPA=90°，时，点P的坐标为（x，y），

则有：（x-）2+y2=，与方程x2-y2=1联立得：

∴点P的坐标（2，）．

解析

解：（1）双曲线的一条渐近线是x-y=0，

由点到直线距离公式，A点到一条渐近线的距离是；

（2）当∠OAP=90°，时，点P的横坐标为，代入双曲线x2-y2=1得：y=，

∴点P的坐标（，）．

当∠OPA=90°，时，点P的坐标为（x，y），

则有：（x-）2+y2=，与方程x2-y2=1联立得：

∴点P的坐标（2，）．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线x2-，过点P（2，4）的直线l与双曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线l共有．（　　）

A0条

B2条

C3条

D4条

正确答案

B

解析

解：双曲线x2-的渐近线方程为y=±2x，

∴点P（2，4）在双曲线的渐近线y=2x上，

∴可过P点作双曲线的一条切线，和一条平行于渐近线y=-2x的直线，

这两条直线与双曲线均只有一个公共点，

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

设双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于点M、N，若=0，cos∠F1MF2=，则该双曲线的离心率为（　　）

A

B

C2+

D

正确答案

C

解析

解：由题设知，

∵，∴|MF1|=，

∵cos∠F1MF2=，∴，

∴，

∴．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的左、右焦点分别记为F1、F2，若P为双曲线的渐近线上一点，若|+|=|-|，且||=a（a为实轴长），求双曲线的离心率．

正确答案

解：若|+|=|-|，

则（+）2=（-）2，

化简可得•=0，

即有P在以F1F2为直径的圆上，

设P（m，n），双曲线的方程为-=1，

焦点F1（-c，0），F2（c，0），

联立圆x2+y2=c2，和渐近线方程为y=x，

解方程不妨设P（a，b），

由||=a，即为（a-c）2+b2=a2，

由a2+b2=c2，e=＞1，

化简可得2e2-2e-1=0，

解得e=，

故双曲线的离心率为．

解析

解：若|+|=|-|，

则（+）2=（-）2，

化简可得•=0，

即有P在以F1F2为直径的圆上，

设P（m，n），双曲线的方程为-=1，

焦点F1（-c，0），F2（c，0），

联立圆x2+y2=c2，和渐近线方程为y=x，

解方程不妨设P（a，b），

由||=a，即为（a-c）2+b2=a2，

由a2+b2=c2，e=＞1，

化简可得2e2-2e-1=0，

解得e=，

故双曲线的离心率为．

1

题型：单选题

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单选题

双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（　　）

A

B

C1

D

正确答案

B

解析

解：双曲线x2-y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±x，

所以所求的距离为=．

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

双曲线=1的焦点到渐近线的距离为（　　）

A

B

C1

D

正确答案

C

解析

解：∵a2=m，b2=1，∴=．可得右焦点F．

取渐近线y=x，即x-y=0．

∴右焦点F到渐近线的距离d==1．

故选：C．

1

题型：简答题

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简答题

过双曲线x2-y2=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l，交双曲线于A、B两点．

（1）求双曲线的离心率和渐近线；

（2）求|AB|．

正确答案

解：（1）双曲线x2-y2=1中a=b=1，∴c=，

∴，y=±x

（2）AB的斜率为tan60°=，又双曲线x2-y2=1的右焦点F（，0），

故AB的方程为y-0=（x-），代入双曲线x2-y2=1的方程化简可得2x2+6x-7=0，

∴x1+x2=-3，x1x2=-，

∴|AB|=|x1-x2|=2=8．

解析

解：（1）双曲线x2-y2=1中a=b=1，∴c=，

∴，y=±x

（2）AB的斜率为tan60°=，又双曲线x2-y2=1的右焦点F（，0），

故AB的方程为y-0=（x-），代入双曲线x2-y2=1的方程化简可得2x2+6x-7=0，

∴x1+x2=-3，x1x2=-，

∴|AB|=|x1-x2|=2=8．

1

题型：单选题

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单选题

经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线与A，B两点，交双曲线的渐近线于P，Q两点，若|PQ|=2|AB|，则双曲线的离心率是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：不妨设双曲线的方程为，

令x=c，解得，y=±，

∴|AB|=2，

又∵双曲线的渐近线方程为y=±x，

令x=c，解得，y=±c，

∴|PQ|=2c，

又∵|PQ|=2|AB|，

∴2c=4，即c=2b，

∴a=，

∴e===，

故选D．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•汕尾月考）己知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，点A在其右半支上，若•=0，若∠AF1F2∈（0，），则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

A（1，）

B（1，）

C（，）

D（，）

正确答案

A

解析

解：设∠AF1F2=θ，则

由题意，|AF2|=2csinθ，|AF1|=2ccosθ，

∵点A在其右半支上，

∴2ccosθ-2csinθ=2a，

∴e===，

∵∠AF1F2∈（0，），

∴θ+∈（，），

∴cos（θ+）∈（，），

∴cos（θ+）∈（，1），

∴e∈（1，），

故选：A．

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