双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

以双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右顶点A为圆心作与渐近线相切的圆，过左焦点F作该圆的切线，设切点为P，切线与y轴的交点为M，且FM：MP=8：3，求双曲线的离心率．

正确答案

解：∵=，

∴=，

即FM=FP；

又∵△FMD∽△FAP，

∴=，

∴FP=，

A（a，0），

∴r==，

又∵FA2=FP2+PA2，

∴（a+c）2=（a+c）c+；

即3e4-5e3-8=（e+1）（e-2）（3e2-2e+4）=0，

解得，e=-1（舍去）或e=2；

故双曲线的离心率为2．

解析

解：∵=，

∴=，

即FM=FP；

又∵△FMD∽△FAP，

∴=，

∴FP=，

A（a，0），

∴r==，

又∵FA2=FP2+PA2，

∴（a+c）2=（a+c）c+；

即3e4-5e3-8=（e+1）（e-2）（3e2-2e+4）=0，

解得，e=-1（舍去）或e=2；

故双曲线的离心率为2．

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：双曲线，可得c=1，

双曲线的离心率为：，

∴，解得a=．

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

求下列双曲线的标准方程：

（1）经过两点（-4，0）、（4，-2）：

（2）与双曲线=1有相同的渐近线，且过点（2，）

正确答案

解：（1）设双曲线方程为mx2-ny2=1，

∵双曲线经过两点（-4，0）、（4，-2），

∴16m=1，32m-4n=1，

∴m=，n=，

∴双曲线方程为=1；

（2）设双曲线方程为=λ，

∵过点（2，），

∴=λ，

∴λ=-2，

∴双曲线方程为

解析

解：（1）设双曲线方程为mx2-ny2=1，

∵双曲线经过两点（-4，0）、（4，-2），

∴16m=1，32m-4n=1，

∴m=，n=，

∴双曲线方程为=1；

（2）设双曲线方程为=λ，

∵过点（2，），

∴=λ，

∴λ=-2，

∴双曲线方程为

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题型：单选题

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单选题

（2015•滕州市校级模拟）双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，则的最小值为（　　）

A

B

C2

D

正确答案

A

解析

解：∵双曲线（a≥1，b≥1）的离心率为2，

∴

∴b2=3a2

∴==

∵a≥1

∴在[1，+∞）上单调增

∴≥

故选A．

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题型：填空题

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填空题

方程表示的曲线为C，给出下列四个命题：

①曲线C不可能是圆；

②若曲线C为椭圆，则1＜t＜4；

③若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则．

其中正确命题序号是______．

正确答案

③④

解析

解：由圆的定义可知：当4-t=t-1时，即t=时方程表示圆，故①错误；

由双曲线的定义可知：当（4-t）（t-1）＜0时，即t＜1或t＞4时方程表示双曲线，故③正确；

由椭圆定义可知：（1）当椭圆在x轴上时，当满足时，即时方程表示焦点在x轴上的椭圆，故④正确．

（2））当椭圆在y轴上时，当满足时，即＜t＜4时方程表示焦点在y轴上的椭圆，故②错误．

故答案为：③④．

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题型：单选题

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单选题

斜率为2的直线l过双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A[2，+∞）

B（1，）

C

D（，+∞）

正确答案

D

解析

解：依题意，斜率为2的直线l过双曲线C：-=1的右焦点

且与双曲线的左右两支分别相交，

结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即b＞2a，

因此该双曲线的离心率e===＞=．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线的方程．

正确答案

解：双曲线9y2-4x2=-36可化为，

∴a=3，b=2，c=．

∴顶点坐标（±3，0）、焦点坐标（，0）、实轴长6、虚轴长4、离心率e==、渐近线的方程y=．

解析

解：双曲线9y2-4x2=-36可化为，

∴a=3，b=2，c=．

∴顶点坐标（±3，0）、焦点坐标（，0）、实轴长6、虚轴长4、离心率e==、渐近线的方程y=．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆与双曲线有交点P，且有公共的焦点F1，F2，且∠F1PF2=2α．求证：tanα=．

正确答案

证明：因为椭圆与双曲线（m＞0，n＞0）有公共的焦点F1、F2，

所以有：a2-b2=m2+n2，

不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF1|=p，|PF2|=q．

由双曲线和椭圆的定义可得 p+q=2a，p-q=2m，

解得 p2+q2=2（a2+m2），pq=a2-m2，

在△PF1F2中，cos∠F1PF2=cos2α==，

∴tanα===．

解析

证明：因为椭圆与双曲线（m＞0，n＞0）有公共的焦点F1、F2，

所以有：a2-b2=m2+n2，

不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF1|=p，|PF2|=q．

由双曲线和椭圆的定义可得 p+q=2a，p-q=2m，

解得 p2+q2=2（a2+m2），pq=a2-m2，

在△PF1F2中，cos∠F1PF2=cos2α==，

∴tanα===．

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题型：简答题

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简答题

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l：y=kx+与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；

（3）在（2）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M（0，b），求b的取值范围．

正确答案

解：（1）设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0）．

由已知得：a=，c=2，再由a2+b2=c2，∴b2=1，

∴双曲线方程为-y2=1．

（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），

将y=kx+代入-y2=1，

得（1-3k2）x2-6kx-9=0．

由题意知解得＜k＜1．

∴当＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．

（3）由（2）得：xA+xB=，

∴yA+yB=（kxA+）+（kxB+）

=k（xA+xB）+2=，

∴AB的中点P的坐标为（，）．

设直线l0的方程为：y=-x+b，

将P点坐标代入直线l0的方程，得b=．

∵＜k＜1，∴-2＜1-3k2＜0，

∴b＜-2．

∴b的取值范围为（-∞，-2）．

解析

解：（1）设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0）．

由已知得：a=，c=2，再由a2+b2=c2，∴b2=1，

∴双曲线方程为-y2=1．

（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），

将y=kx+代入-y2=1，

得（1-3k2）x2-6kx-9=0．

由题意知解得＜k＜1．

∴当＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．

（3）由（2）得：xA+xB=，

∴yA+yB=（kxA+）+（kxB+）

=k（xA+xB）+2=，

∴AB的中点P的坐标为（，）．

设直线l0的方程为：y=-x+b，

将P点坐标代入直线l0的方程，得b=．

∵＜k＜1，∴-2＜1-3k2＜0，

∴b＜-2．

∴b的取值范围为（-∞，-2）．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•蕲春县期中）已知双曲线-=1的左右焦点分别为F1，F2，一条垂直于x轴的直线交双曲线的右支于M，N两点，且MF1⊥MF2，△F1MN为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

A

B1+

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意，∠MF1F2=30°，MF1⊥MF2，

∴|MF1|=c，|MF2|=c，

∴c-c=2a，

∴e===+1，

故选：B．

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