双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

设命题p：方程表示焦点在y轴上的双曲线，命题q：函数在（0，2）内单调递减，如果为真命题，求k的取值范围。

正确答案

解：命题p等价于k>0且k-7<0，即0

易知，解得：x=0或，

命题q等价于或，

∵为真命题，

∴p与q都为真命题，

可得，

所以。

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题型：填空题

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填空题

若双曲线-=1（b＞0）的渐近线方程式为y=±x，则b等于______．

正确答案

由双曲线方程可得渐近线方程为y=±，又双曲线的渐近线方程式为y=±x，

∴=，解得b=1．

故答案为1

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题型：简答题

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简答题

过抛物线x2=2y上两点A（-1，）、B（2，2）分别作抛物线的切线，两条切线交于点M．

（1）求证：∠BAM=∠BMA；

（2）记过点A、B且中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线为C，F1、F2为C的两个焦点，B1、B2为C的虚轴的两个端点，过点B2作直线PQ分别交C的两支于P、Q，当•∈（0，4]时，求直线PQ的斜率k的取值范围．

正确答案

（1）∵y=x2，

∴y'=x，

切于点A（-1，）的切线方程为y-=-（x+1），

切于点B（2，2）的切线方程为y-2=2（x-2），

联立解得M（，-1），

∵|BA|=|BM|，

∴∠BAM=∠BMA．

（2）设双曲线方程为mx2-ny2=1，

由题意，有m-n=1且4m-4n=1，

解得m=，n=1，

∴双曲线方程为x2-y2=1，

不妨设B1（0，1），B2（0，-1），

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴=（-x1，1-y1），=（-x2，1-y2），

∴•=x1x2+1-（y1+y2）+y1y2∈（0，4]．

设直线PQ的方程为y=kx-1（k必存在），

由，

得（-k2）x2+2kx-2=0

△=4k2+8（-k2）＞0

x1+x2=，x1x2=

•=x1x2+1-（y1+y2）+y1y2

=x1x2+1-k（x1+x2）+2+k2x1x2-k（x1+x2）+1

将x1+x2=，x1x2=代入，

得•=+1-k•+2+k2•-k•+1

=+4

=．

∴•=∈（0，4]，

即0＜≤4，

∴，

由①得k2≤，或k2＞，

由②得k2≤1，或k2＞，

故k2≤1，或k2＞

解得k∈（-∞，-）∪[-1，1]∪（，+∞）．

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题型：简答题

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简答题

设命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线，

命题q：函数f（x）=x3-kx2+1在（0，2）内单调递减，如果p∧q为真命题，求k的取值范围．

正确答案

命题p等价于k＞0且k-7＜0即0＜k＜7

f'（x）′=3x2-2kx=0得x=0或

∴命题q等价于≥2即k≥3

∵p∧q为真命题．

∴p与q都为真命题．

所以3≤k＜7

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题型：填空题

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填空题

若x1，x2分别为三次函数f(x)=x3-2x2+3x-5的极大值点和极小值点，则以（x1，0）为顶点，（x2，0）为焦点的双曲线的离心率e 等于______．

正确答案

求导函数可得f′（x）=x2-4x2+3

令f′（x）=x2-4x2+3＞0，可得x＜1或x＞3；令f′（x）=x2-4x2+3＜0，可得1＜x＜3

∴1，3是函数的极值点

∴（1，0）为双曲线的顶点，（3，0）为双曲线的焦点

∴a=1，c=3

∴e==3

故答案为3．

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的焦点到一条渐近线l的距离为4，若渐近线l恰好是曲线y=x3-3x2+2x在原点处的切线，则双曲线的标准方程为______．

正确答案

f′（x）=3x2-6x+2．设切线的斜率为k．

切点是原点，k=f′（0）=2，所以所求曲线的切线方程为y=2x．

∵双曲线的一条渐近线方程是 y=2x，

∴=2

又∵==4

∴c=2，∵c2=a2+b2∴a2=4 b2=16

∴双曲线方程为-=1

故答案为-=1．

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题型：填空题

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填空题

设椭圆+=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则||||=______．

正确答案

∵椭圆+=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1、F2，

∴m-2=3+1，

∴m=6，

∴|PF1|+|PF2|=2 ，||PF1|-|PF2||=2 ，

两式平方相减可得，4|PF1|•|PF2|=12，

∴|PF1|•|PF2|=3．

故答案为：3．

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为（，0），e1=（2，1）、e2=（2，-1）分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线Γ上的点P，若，

则a、b满足的一个等式是（）。

正确答案

4ab=1

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题型：简答题

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简答题

曲线C是中心在原点，焦点为F(，0)的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是y=x．

（1）求曲线C的方程；

（2）已知点E（2，0），若直线l与曲线C交于不同于点E的P，R两点，且•=0，求证：直线l过一个定点，并求出定点的坐标．

正确答案

（1）设曲线C的方程为-=1(x≥a，a＞0，b＞0)

∵一条渐近线方程是y=x，c=

∴a=2b，a2+b2=c2=5

∴a=2，b=1

故所求曲线C的方程是-y2=1(x≥2)…（5分）

（2）设P（x1，y1），R（x2，y2），

①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m

由，

此时1-4k2≠0

∴…（7分）

由•=0⇒(x1-2)(x2-2)+y1y2

=（x1-2）（x2-2）+（kx1+m）（kx2+m）=0

∴（1+k2）x1x2+（km-2）（x1+x2）+m2+4=0

（1+k2）•+（km-2）•+m2+4=0

整理有3m2+16km+20k2=0⇒m=-，或m=-2k…（10分）

当m=-2k时，直线L过点E，不合题意

当m=-，则直线l的方程为y=kx-=k(x-)

则直线l过定点（，0）…（12分）

②当直线l的斜率不存在时，x1=x2，y1=-y2，

由•=0，

有x12-4x1+4-=0，又-=1

从而有x1=x2=．此时直线L过点(，0)

故直线l过定点(，0)…（15分）

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题型：简答题

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简答题

（文）已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，满足•=0，||=2||．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）过点P作与实轴平行的直线，依次交两条渐近线于Q，R两点，当•=2时，求双曲线的方程．

正确答案

（I）设PPF1=m，PF2=n（m＞n）

∵•=0，||=2||．

∴

∴5a2=4c2

∴e==

（II）由（I）可得，b2=c2-a2=a2

∴双曲线的方程x2-4y2=a2，渐进线方程为y=±x

设P（x，y）则可得Q（2y，y），R（-2y，y）

∵•=（2y-x，0）•（-2y-x，0）=x2-4y2=2

∴a2=2，b2=

∴双曲线方程为-2y2=1

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