热门试卷

（Ⅰ）设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），半焦距c，

依题意得　　解得a=，b=1，

∴所求双曲线C的方程为-y2=1．

（Ⅱ）依题意有：Q（-x0，-y0），∴=(x0，y0-1)，

=(-x0，-y0-1)

∴•=-x02-y02+1

，又-y 02=1，•=-+2，由-y 02=1可得，x02≥3，

•=-+2≤-2故•的取值范围x≤-2．

（1）∵双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0．

∴设双曲线方程为：4x2-9y2=λ（λ≠0）

∵双曲线经过P(，2)，

∴4×（）2-9×22=λ，得λ=-12，

可得双曲线方程为：4x2-9y2=-12，化为标准形式得：-=1．

（2）①当双曲线焦点在x轴上时，设方程为-=1

∵渐近线的方程为2x±3y=0且焦距是2，

∴，解之得a=3，b=2．因此双曲线方程为-=1

②当双曲线焦点在y轴上时，设方程为-=1

用类似于①的方法，可解得a=2，b=3．因此双曲线方程为-=1

综上所述，可得双曲线方程为-=1或-=1．

（1）因为焦点到其相应准线的距离为，所以=；

又因为过点A（0，-b），B（a，0）的直线与原点的距离为；

可设直线方程为-=1，

由点到直线的距离公式得=，解得a=，b=1，

所以双曲线方程为-y2=1

（2）假设存在直线y=kx+5（k≠0，）与双曲线交于相异两点C，D，使得C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上

∴得（1-3k2）x2-30kx-78=0；可得

因为C，D两点都在以A为圆心的同一个圆上；所以有|AC|=|AD|，

所以直线CD的中点坐标为M(，)

因为AM⊥CD，所以=-，解得k=±，

所以直线方程为：y=±x+5

∵渐近线方程为3x+4y=0，

设双曲线方程为9x2-16y2=λ，

将P（-4，-6）的坐标代入方程得

9（-4）2-16（-6）2=λ，

求得λ=-16×27，

所以双曲线方程为9x2-16y2=-16×27．

即-=1．

（1）双曲线C的右准线l的方程为：x=，两条渐近线方程为：y=±x．

∴两交点坐标为　P(，)、Q(，-)．

设M为PQ与x轴的交点

∵△PFQ为等边三角形，则有|MF|=|PQ|（如图）．

∴c-=•(+)，即=．

解得　b=a，c=2a．

∴e==2．

（2）由（1）得双曲线C的方程为-=1．直线方程为y=ax+a

把y=ax+a代入得(a2-3)x2+2a2x+6a2=0．

依题意　

∴a2＜6，且a2≠3．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴x1+x2=，x1x2=

∴双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为l====

∵l==12a．

∴144a2=(1+a2)•．

整理得　13a4-77a2+102=0．

∴a2=2或a2=．

∴双曲线C的方程为：-=1或 -=1．

解（1）∵||=2||，||-||=2a，∴||=4a，||=2a．

∵•=0，∴（4a）2+（2a）2=（2c）2，∴e==．

（2）由（1）知，双曲线的方程可设为-=1，渐近线方程为y=±2x．

设P1（x1，2x1），P2（x2，-2x2），P（x，y）．

∵•=-3x1x2=-，∴x1x2=．∵2+=0，∴

∵点P在双曲线上，∴-=1．

化简得，x1x2=．∴=．∴a2=2．∴双曲线的方程为-=1

（1）由题意得：

解得：

∴双曲线方程为x2-=1--------------------------------------------------------（4分）

（2）第一种情况：若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x=2P（2，3）、Q（2，-3），

•=13≠-17，不合题意；--------------------------------（6分）

第二种情况：若直线PQ的斜率存在，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

直线PQ的方程为y=k（x-2），代入双曲线方程可得：（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0（*） 

且判别式△=36k2+36＞0--（7分）

由于P、Q都在双曲线的右支上，所以3-k2≠0，且，解得k3＞3-----------（8分）

所以y1y2=k(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-

而=(x1，y1)，=(x1，y2)，由于•=-17，所以x1x2+y1y2=-17

所以-=-17，得k2=4＞3

此时x1+x2=16，x1x2=19，y1y2=-36，y1+y2=k（x1+x2-4）=12k

所以S△PBQ=•|BF|×|y1-y2|=×1×==6

即△PBQ的面积是6-----------（11分）

（1）依题意…（3分）      

解得 …（5分）

所以双曲线的方程为x2-=1．…（6分）

（2）由（1）得，F1(-，0)，F2(，0)，

从而以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=5．…（9分）

因为点A(，)的坐标满足方程x2+y2=5，

故点A在以F1F2为直径的圆上，所以AF1⊥AF2．…（12分）