双曲线
共3579题

双曲线
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题型：填空题

填空题

已知P是双曲线-y2=1的右支（在第一象限内）上的任意一点，A1，A2分别是其左右顶点，O是坐标原点，直线PA1，PO，PA2的斜率分别为k1，k2，k3，则斜率k1k2k3的取值范围是______．

正确答案

设点P（x，y），（x＞0，y＞0），则

∵双曲线-y2=1中，A1（-2，0），A2（2，0），直线PA1，PO，PA2的斜率分别为k1，k2，k3，

∴k1k2k3=••=•=•

∵P是双曲线-y2=1的右支（在第一象限内）上的任意一点，

∴0＜＜，

∴0＜•＜．

故答案为：（0，）．

题型：填空题

填空题

双曲线-=1的准线方程是______．

正确答案

∵a=4，b=3，

则c=5，

双曲线-=1的准线方程是y=±，

故答案是y=±．

题型：填空题

填空题

若+=-1表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是 ______．

正确答案

依题意可知求得k＞2

∴c==

∵k＞2，

∴＞1，即c＞1

故答案为：（1，+∞）

题型：填空题

填空题

设F1，F2是双曲线-y2=1的左右焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为______．

正确答案

设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）

∵a2=4，∴根据双曲线性质可知x-y=4，

∵∠F1PF2=90°，c==，

∴x2+y2=20，

∴2xy=x2+y2-（x-y）2=4，

∴xy=2，

∴△F1PF2的面积为xy=1，

设点P到x轴的距离为h，

则S△F1PF2=•h•2c=1，

∴h==．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知双曲线C的一条渐近线方程为x-2y=0，则该双曲线的离心率e=______．

正确答案

∵双曲线C的一条渐近线方程为x-2y=0，

∴设双曲线方程为x2-4y2=k，

整理，得-=1，

当k＞0时，a2=k，c2=k+=k，

e==．

当k＜0时，a2=-，c2=--k=-k，

e==．

故答案为：或．

题型：填空题

填空题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F做双曲线C的一条渐近线的垂线，与双曲线交于M，垂足为N，若M为线段FN的中点，则双曲线C的离心率为 ______．

正确答案

设F（c，0）相应的渐近线：y=x，

则根据直线FN的斜率为-，设N（x，x），代入双曲线渐近线方程求出x=，

则N（，），则M（，），

把M点坐标代入双曲线方程-=1中，整理求得=，即离心率为

故答案为：

题型：简答题

简答题

求证：双曲线xy=k（k≠0）上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数．并说明你的证明中的主要步骤（三步）．

正确答案

证明：设曲线xy=k（k≠0）上任意一点的坐标是P（x0，y0），

由题意可得：xy=k可以变形为：y=，

对函数y=求导数可得 y′=-，

所以切线的方程是 y-y0=-(x-x0)．

因为x0y0=k，可以得出切线在x轴与y轴的截距分别是x截距=x0+-=2x0，

y截距=y0+==，

所以根据三角形的面积公式可得：所求三角形的面积为2k，

所以双曲线xy=k（k≠0）上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为常数．

题型：填空题

填空题

双曲线-=1的两条渐近线方程为______．

正确答案

∵双曲线-=1的a=4，b=3，焦点在x轴上

而双曲线-=1的渐近线方程为y=±x

∴双曲线-=1的渐近线方程为y=±x

故答案为：y=±x

题型：填空题

填空题

若方程+=-1表示双曲线，则k的取值范围是______．

正确答案

若方程+=-1表示的曲线为双曲线，

则（k+2）（5-k）＜0，即（k+2）（k-5）＞0，

解得k＜-2，或k＞5，即k∈（-∞，-2）∪（5，+∞），

故答案为：（-∞，-2）∪（5，+∞）

题型：简答题

简答题

若方程+=-1表示双曲线，则k的取值范围是______．

正确答案

若方程+=-1表示的曲线为双曲线，

则（k+2）（5-k）＜0，即（k+2）（k-5）＞0，

解得k＜-2，或k＞5，即k∈（-∞，-2）∪（5，+∞），

故答案为：（-∞，-2）∪（5，+∞）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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