双曲线_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题

已知双曲线C1：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，它的准线与双曲线C1的左准线重合，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2，则双曲线C1的离心率为______．

正确答案

设抛物线方程为y2=2px，依题意可知 =，

∴p=2×，

抛物线方程与双曲线方程联立得 -=1，

把x=c，p=2×，代入整理得e4-2e2-3=0

解得e2=3或-1（舍去）

∴e=，

故答案为：．

1

题型：填空题

|

填空题

直线l是双曲线-=1(a＞0，b＞0)的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是______．

正确答案

c2=a2+b2

由于圆被分成的两段圆弧的弧长比为2：1，

所以可以求出两个交点与圆心构成的圆心角为120°，

根据对称性，在第一象限的交点A原点O所构成直线的倾斜角为60°

记右准线与x轴的交点为B．

所以===cos60°=

所以e==2．

故答案为2．

1

题型：填空题

|

填空题

圆锥曲线(θ为参数)的准线方程是______．

正确答案

根据sec2θ=1+tan2θ消去θ得

-=1

则a=2，b=3，c=，

∴准线方程是x=±=±

故答案为：x=±．

1

题型：填空题

|

填空题

（理）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的中心在原点，它的一个焦点坐标为(，0)，=(2，1)、=(2，-1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线C上的点P，其中=m+n（m，n∈R），则m，n满足的一个等式是______．

正确答案

因为c=，所以=(2，1)、=(2，-1)是渐进线方向向量，

所以双曲线渐近线方程为y=±x，

又c=，a=2，b=1双曲线方程为-=1，

=m+n=（2m+2n，m-n），

点P是双曲线C上的点，

所以-(m-n)2=1，化简得4mn=1．

故答案为：4mn=1．

1

题型：填空题

|

填空题

双曲线-=1的离心率为______．

正确答案

因为双曲线-=1，所以a=4，b=3，所以c===5，

所以双曲线的离心率为：e==．

故答案为：．

1

题型：填空题

|

填空题

如果双曲线-=1上一点P到它的左焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是．

正确答案

∵双曲线-=1的：

a=8．b=6，c=10，e=．

∴点P到它的右焦点的距离=2a+8=24，

设点P到它的右准线的距离是x，由双曲线的第二定义可知，

=，解得 x=．

故点P到它的右准线的距离是．

故答案为．

1

题型：填空题

|

填空题

已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-y2=1交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是 ______．

正确答案

依题意知抛物线的准线x=-1．代入双曲线方程得

y=±．

不妨设A（-1，），

∵△FAB是等腰直角三角形，

∴=2，解得：a=，

∴c2=a2+b2=+1=，

∴e=

故答案为：

1

题型：填空题

|

填空题

方程 +=1表示的曲线为C，给出下列四个命题：

①若1＜k＜4，则曲线C为椭圆； ②若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4；

③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜； ④曲线C不可能表示圆的方程．

其中正确命题的序号是______．

正确答案

若C为椭圆应该满足即1＜k＜4 且k≠故①错；

若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则即：1＜k＜；故③对；

若C为双曲线应该满足（4-k）（k-1）＜0即k＞4或k＜1 故②对

若C表示圆，应该满足4-k=k-1＞0则 k=，故④不对

故答案为：②③．

1

题型：简答题

|

简答题

已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1：y=x和l2：y=-x，其焦点在x轴上，实轴长为2．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线相切于点M且与右准线交于N，F为右焦点，求证：∠MFN为直角．

正确答案

（Ⅰ）由题意，设双曲线方程为3x2-y2=λ(λ＞0)⇒-=1．

又2a=1，∴a=1，

∴=1，∴λ=3，

∴方程为x2-=1；

（Ⅱ）证明：由y=kx+1代入双曲线方程，消去y得（3-k2）x2-2kx-4=0，

由，可得，

∴k=±2，

当k=2时得xM=-2，代入y=2x+1得yM=-3，

∴M（-2，-3），

由⇒N(，2)，

∴F(2，0)⇒=(-4，-3)，=(-，2)⇒•=6-6=0⇒⊥；

当k=-2时同理得M(2，-3)，N(，0)，F(2，0)⇒=(0，-3)，=(-，0)⇒•=0⇒⊥，

综上：∠MFN为直角．

1

题型：填空题

|

填空题

抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线-=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=______．

正确答案

抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=-，

准线方程与双曲线联立可得：-=1，

解得x=±，

因为△ABF为等边三角形，所以=2|x|，即p2=3x2，

即p2=3(3+)，解得p=6．

故答案为：6．

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案