热门试卷

解：(Ⅰ)设双曲线方程为，

右焦点为F(c，0)(c＞0)，则c2=a2+b2，

不妨设l1：bx-ay=0，l2：bx+ay=0，

则，

因为，且，

所以，

于是得，

又与同向，故，

所以，

解得或（舍去），

因此，

双曲线的离心率为。

(Ⅱ)由a=2b知，双曲线的方程可化为x2-4y2=4b2， ①

由l1的斜率为知，直线AB的方程为，②

将②代入①并化简，得，

设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则，③

AB被双曲线所截得的线段长

，④

将③代入④，并化简得l=，

而由已知l=4，故b=3，a=6，

所以双曲线的方程为。

解：（1）因为a>b>0，

所以

所以

由∠APB=90°及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，

所以

因为

所以

所以

故双曲线离心率e的取值范围为。

（2）因为

所以以点P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程为

因为圆O与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB，

所以联立方程组

消去x2，y2，即得直线AB的方程为x0x+y0y=b2。

（3）由（2）知，直线AB的方程为x0x+y0y=b2，

所以点O到直线AB的距离为

因为 

所以三角形OAB的面积

因为点P（x0，y0）在双曲线上，

所以，

即

设

所以

因为S'

所以当0＜t＜b时，S'>0，当t>b时，S'＜0

所以

在（0，b）上单调递增，在（b，+∞）上单调递减，

当，即时，

S最大值=

当，即时，

S最大值=

综上可知，当，S最大值=

当时，S最大值=。

解：（Ⅰ）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，

实轴长2a=2的双曲线，

因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=，

所以双曲线的方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及右图，易知|PN|≥1，因|PM|=2|PN|2， ①

知|PM|＞|PN|，

故P为双曲线右支上的点，

所以|PM|=|PN|+2， ②

将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，

解得|PN|=，

所以|PN|=，

因为双曲线的离心率e==2，

直线l：x=是双曲线的右准线，

故=e=2，

所以d=|PN|，

因此。

解：（1）依题意可得A(-1，0)，B(1，0)

双曲线的焦距为，∴c=，

∴b2=c2-a2=5-1=4

∴双曲线C的方程为（2）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，i=1,2），直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1）

联立方程组 整理，得

解得x=-1或∴

同理方程组可得：

∴x1·x2=1为一定值

（3）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，i=1,2），

则，．

∵≤15，∴，即

∵点P在双曲线上，则，所以，即

又∵点P是双曲线在第一象限内的一点，所以

∵，

∴

由（2）知，，即，设，则，

∴，

∵在上单调递减，在上单调递增、

∴当t=4，即时，

当t=2，即时，

∴的取值范围为

解：符合条件的点M 应该有4 个，分别位于第一、二、三、四象限，但无论哪种情况，△MF1F2的面积都相等，不妨设点M 在第一象限，

由已知得，c2=40+9=49．  

根据双曲线定义，得|MF1|-|MF2|=2a=

即|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|·|MF2|=160.    ①

又∵ MF1⊥MF2,

∴|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2 ,

即|MF1|2 +|MF2|2=(2c)2=196.    ②

由①②，得|MF1|·|MF2|=9，

∴△MF1F2的面积是9．

∵椭圆方程为+=1，∴椭圆的半焦距c==5．

∴椭圆的焦点坐标为（±5，0），也是双曲线的焦点

设所求双曲线方程为-=1，

则可得：⇒

∴所求双曲线方程为-=1

解：直线l的方程为，即bx+ay-ab=0，

由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，

同理得到点（-1，0）到直线l的距离，

，

由得，即，

于是得，即，

解不等式，得，

由于e＞1＞0，

所以e的取值范围是。

解：（1）如图，在△PF1F2中，由余弦定理，

∴

∴。 

 （2）由（1），双曲线方程为

若QF2⊥x轴，此时Q（2a，3a），c=2a，△QAF2为等腰Rt△

∠QAF2=

下证

令

tan∠QF2A=

tan2∠QAF2=

tan∠QF2A

∴存在常数，使∠QAF2=∠QF2A恒成立。 

解：（1）已知双曲线E：，

在双曲线上，M，N分别为双曲线E的左右顶点，

所以M（-a，0），N（a，0），

直线PM，PN斜率之积为，

而，比较得；

（2）设过右焦点且斜率为1的直线L：y=x-c，交双曲线E于A，B两点，

则不妨设，

又，点C在双曲线E上：

， ①

又联立直线L和双曲线E方程消去y得：，

由韦达定理得：，，

代入①式得：或λ=-4。