双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

过点A（4，-1）和双曲线-=1右焦点的直线方程为______．

正确答案

由于a2=9，b2=16，∴c2=25，故右焦点为（5，0）．

所求直线方程为y=（x-5），即x-y-5=0．

故答案为：x-y-5=0

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题型：填空题

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填空题

如果正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量=，那么以B，C为焦点且过点D，E的双曲线的离心率是______．

正确答案

由向量 =，可得DE是△ABC的中位线，

设正△ABC的边长为2c，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，

则E的坐标为（，c），

由题意知可设双曲线的方程为-=1，

把E的坐标代入双曲线的方程得-=1，∴4a4-8a2c2+c4=0，

∵＞1，∴=4+2 ，∴=+1，

故答案为：+1．

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题型：填空题

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填空题

连接双曲线和（其中a，b>0）的四个顶点的四边形面积为S1，连接四个焦点的四边形的面积为S2，则当的值为最大时，双曲线的离心率为（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1、F2，P是直线x=4上的动点，若∠F1PF2=θ，则θ的最大值为（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

双曲线-=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（1，2）在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是______．

正确答案

双曲线-=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为：

y=x，

∵点（1，2）在“上”区域内，

∴× 1＜2，即＜ 2，

∴e== ＜=，

又e＞1，

则双曲线离心率e的取值范围是(1，)．

故答案为：(1，)．

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题型：填空题

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填空题

给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离。某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|-|PF2||=8，即|9-|PF2||=8，得|PF2|=1或17。该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在空格内，若不正确，将正确的结果填在空格内（）。

正确答案

|PF2|=17

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题型：填空题

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填空题

给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离。某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|-|PF2||=8，即|9-|PF2||=8，得|PF2|=1或17。该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内（）。

正确答案

|PF2|=17

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题型：简答题

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简答题

如图，已知双曲线C1：-y2=1，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1-C2型点“

（1）在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1-C2型点”；

（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1-C2型点”

正确答案

（1）C1的左焦点为（-，0），写出的直线方程可以是以下形式：

x=-或y=k(x+)，其中|k|≥．

（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，

所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得|k|=＞1．

若原点是“C1-C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．

考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．

显然直线x=0与C1无公共点．

如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得x2=＜0，矛盾．

所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．

因此原点不是“C1-C2型点”．

（3）证明：记圆O：x2+y2=，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，

故可设l：y=kx+b．

若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=-x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=-kx±1之间，

从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．

因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，

得（1-2k2）x2-4kbx-2b2-2=0．

因为|k|＞1，所以1-2k2≠0，

因此△=（4kb）2-4（1-2k2）（-2b2-2）=8（b2+1-2k2）≥0，

即b2≥2k2-1．

因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离d=，

所以=d2＜，从而＞b2≥2k2-1，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．

因此，圆x2+y2=内的点不是“C1-C2型点”．

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题型：填空题

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填空题

给出下列三个命题：

①若直线l过抛物线的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；

②双曲线C：的离心率为；

③若，则这两圆恰有2条公切线；

④若直线l1：a2x-y+6=0与直线l2：4x-（a-3）y+9=0互相垂直，则a=-1；

其中正确命题的序号是（）（把你认为正确命题的序号都填上）。

正确答案

②③

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题型：填空题

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填空题

已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）。

正确答案

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