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题型:填空题
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填空题

点P在以F1、F2为焦点的双曲线-=1上运动,则△PF1F2的重心G的轨迹方程是______.

正确答案

由双曲线的方程可得 a=,b=3,c=2,∴F1(-2,0),F2(-2,0).

设点P(m,n ),则 -=1  ①.设△PF1F2的重心G(x,y),则由三角形的重心坐标公式可得

x=,y=,即 m=3x,n=3y,代入①化简可得

3x2-y2=1,故△PF1F2的重心G的轨迹方程是 3x2-y2=1,

故答案为3x2-y2=1.

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题型:简答题
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简答题

如图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:|PM|+|PN|=6,

(Ⅰ)求点P的轨迹方程;

(Ⅱ)若|PM|·|PN|=,求点P的坐标。

正确答案

解:(Ⅰ)由椭圆的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,

长轴长2a=6的椭圆,

因此半焦距c=2,长半轴a=3,

从而短半轴b=

所以椭圆的方程为

(Ⅱ)由

,①

因为cos∠MPN≠1,P不为椭圆长轴顶点,

故P、M、N构成三角形,

在△PMN中,|MN|=4,

由余弦定理有

,②

将①代入②,

故点P在以M、N为焦点,

实轴长为的双曲线上,

由(Ⅰ)知,点P的坐标又满足

所以由方程组

即P点坐标为

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题型:填空题
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填空题

已知圆x2+y2=25,则该圆过点(1,)且长度为整数的弦有(    )条。

正确答案

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题型:简答题
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简答题

设F1、F2分别为椭圆C:(a>b>0)的左、右两个焦点。

(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;

(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;

(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明。

正确答案

解:(1)椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2,

又点A(1,)在椭圆上,

因此,得b2=3,于是c2=1,

所以椭圆C的方程为,焦点F1(-1,0),F2(1,0)。

(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1),线段F1K的中点Q(x,y)满足:

即x1=2x+1,y1=2y,

因此

为所求的轨迹方程。

(3)类似的性质为:若M、N是双曲线:上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,

设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),其中

又设点P的坐标为(x,y),

,得

kPMkPN=

代入,得kPMkPN=

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题型:填空题
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填空题

已知椭圆C的离心率e=,且它的焦点与双曲线x2-2y2=4的焦点重合,则椭圆C的方程为(    )。

正确答案

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题型:填空题
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填空题

与双曲线有公共焦点,准线与中心距离为8的椭圆方程是(    )。

正确答案

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题型:填空题
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填空题

在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB>CD,设以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1·e2=(    )。

正确答案

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题型:简答题
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简答题

已知三点P(5,2),F1(-6,0),F2(6,0).

(1)求以F1,F2为焦点,且过点P的椭圆方程;

(2)求以F1,F2为顶点,以(1)中椭圆长轴端点为焦点的双曲线方程.

正确答案

(1)设所求椭圆方程为+=1

依题意有,解得b2=9,a2=45

故所求椭圆的方程为+=1…(4分)

(2)设所求双曲线方程为-=1,依题意知a2=36,b2=45-36=9

故所求双曲线方程为-=1…(8分)

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题型:填空题
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填空题

已知方程x3+ax2+bx+c=0的三个实数根可分别作为一个椭圆+=1、一等轴双曲线、一抛物线的离心率,那么的值是______.

正确答案

曲线的离心率分别求出,1,代入方程得

解得a=--,c=-

故答案为=3-4

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题型:填空题
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填空题

如图1,P是双曲线(a>0,b>0,xy≠0)上的动点,F1,F2是双曲线的焦点,M是∠F1PF2的平分线上一点,且某同学用以下方法研究|OM|:延长F2M交PF1,于点N,可知△PNF2为等腰三角形,且M为F2N的中点,得…=a,类似地,如图2,P是椭圆上的动点,F1,F2是椭圆的焦点,M是∠F1PF2的平分线上一点,且=0,则|OM|的取值范围是(    )。

正确答案

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