- 双曲线
- 共3579题
点P在以F1、F2为焦点的双曲线-
=1上运动,则△PF1F2的重心G的轨迹方程是______.
正确答案
由双曲线的方程可得 a=,b=3,c=2
,∴F1(-2
,0),F2(-2
,0).
设点P(m,n ),则 -
=1 ①.设△PF1F2的重心G(x,y),则由三角形的重心坐标公式可得
x=,y=
,即 m=3x,n=3y,代入①化简可得
3x2-y2=1,故△PF1F2的重心G的轨迹方程是 3x2-y2=1,
故答案为3x2-y2=1.
如图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:|PM|+|PN|=6,
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若|PM|·|PN|=,求点P的坐标。
正确答案
解:(Ⅰ)由椭圆的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,
长轴长2a=6的椭圆,
因此半焦距c=2,长半轴a=3,
从而短半轴b=,
所以椭圆的方程为;
(Ⅱ)由,
得,①
因为cos∠MPN≠1,P不为椭圆长轴顶点,
故P、M、N构成三角形,
在△PMN中,|MN|=4,
由余弦定理有
,②
将①代入②,
得,
故点P在以M、N为焦点,
实轴长为的双曲线
上,
由(Ⅰ)知,点P的坐标又满足,
所以由方程组,
即P点坐标为
或。
已知圆x2+y2=25,则该圆过点(1,)且长度为整数的弦有( )条。
正确答案
12
设F1、F2分别为椭圆C:(a>b>0)的左、右两个焦点。
(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明。
正确答案
解:(1)椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2,
又点A(1,)在椭圆上,
因此,得b2=3,于是c2=1,
所以椭圆C的方程为,焦点F1(-1,0),F2(1,0)。
(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1),线段F1K的中点Q(x,y)满足:,
即x1=2x+1,y1=2y,
因此,
即为所求的轨迹方程。
(3)类似的性质为:若M、N是双曲线:上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,
设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),其中,
又设点P的坐标为(x,y),
由,得
kPMkPN=,
将代入,得kPM
kPN=
。
已知椭圆C的离心率e=,且它的焦点与双曲线x2-2y2=4的焦点重合,则椭圆C的方程为( )。
正确答案
与双曲线有公共焦点,准线与中心距离为8的椭圆方程是( )。
正确答案
在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且AB>CD,设以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1·e2=( )。
正确答案
1
已知三点P(5,2),F1(-6,0),F2(6,0).
(1)求以F1,F2为焦点,且过点P的椭圆方程;
(2)求以F1,F2为顶点,以(1)中椭圆长轴端点为焦点的双曲线方程.
正确答案
(1)设所求椭圆方程为+
=1
依题意有,解得b2=9,a2=45
故所求椭圆的方程为+
=1…(4分)
(2)设所求双曲线方程为-
=1,依题意知a2=36,b2=45-36=9
故所求双曲线方程为-
=1…(8分)
已知方程x3+ax2+bx+c=0的三个实数根可分别作为一个椭圆+
=1、一等轴双曲线、一抛物线的离心率,那么
的值是______.
正确答案
曲线的离心率分别求出,
,1,代入方程得
解得a=--
,c=-
故答案为=3
-4
如图1,P是双曲线(a>0,b>0,xy≠0)上的动点,F1,F2是双曲线的焦点,M是∠F1PF2的平分线上一点,且某同学用以下方法研究|OM|:延长F2M交PF1,于点N,可知△PNF2为等腰三角形,且M为F2N的中点,得
…=a,类似地,如图2,P是椭圆上的动点,F1,F2是椭圆的焦点,M是∠F1PF2的平分线上一点,且
=0,则|OM|的取值范围是( )。
正确答案
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