双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

椭圆+=1与曲线+=1（0＜k＜4）的关系是______（填正确的序号）．

①有相等的焦距，相同的焦点；

②有相等的焦距，不同的焦点；

③有不等的焦距，相同的焦点；

④有不等的焦距，不同的焦点．

正确答案

椭圆+=1的焦点在y轴上，

∵0＜k＜4，∴9-k＞4-k＞0，

∴曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆．

又9-4=（9-k）-（4-k），∴此两个椭圆由相同的焦距．

故选②．

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题型：填空题

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填空题

以下是关于圆锥曲线的四个命题：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，若PA-PB=k，则动点P的轨迹是双曲线；

②方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

③双曲线-=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；

④以过抛物线的焦点的一条弦AB为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切．

其中真命题为______（写出所以真命题的序号）．

正确答案

①不正确．若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．

②正确．方程2x2-5x+2=0的两根分别为和2，和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率．

③正确，双曲线 -=1与椭圆+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±，0）；

④正确；不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．

设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．

而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．

又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，

由抛物线的定义可得：==半径．

所以圆心M到准线的距离等于半径，

所以圆与准线是相切．

故答案为：②③④

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题型：填空题

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填空题

若椭圆+=1（m＞n＞0）和双曲线-=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是______．

正确答案

解析：PF1+PF2=2，|PF1-PF2|=2a，

所以PF+PF+2PF1•PF2=4m，PF-2PF1•PF2+PF=4a2，两式相减得：

4PF1•PF2=4m-4a2，∴PF1•PF2=m-a2．

故答案：m-a2．

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题型：简答题

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简答题

已知以原点O为中心，F（，0）为右焦点的双曲线C的离心率，

(Ⅰ)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

(Ⅱ)如图，已知过点M(x1，y1)的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N(x2，y2)(其中x2≠x1)的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求的值。

正确答案

解：(Ⅰ)设C的标准方程为，

则由题意，

又，

因此，

C的标准方程为，

C的渐近线方程为，即x-2y=0和x+2y=0。

(Ⅱ)如图，由题意点E(xE，yE)在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，

因此有x1xE+4y1yE=4，x2xE+4y2yE=4，

故点M、N均在直线xEx+4yEy=4上，

因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4，

设G、H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，

由方程组及，

解得，

故，

因为点E在双曲线上，

有，

所以。

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题型：简答题

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简答题

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s，已知各观测点到该中心的距离都是1020m，试确定该巨响发生的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s：相关各点均在同一平面上）。

正确答案

解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系

设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x，y）为巨响生源点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，

故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，

故|PB|- |PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上

依题意得a=680，c=1020

∴

故双曲线方程为

用y=-x代入上式，得

∵|PB|>|PA|

∴

即

故。

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心。

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题型：简答题

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简答题

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．

（1）求双曲线的离心率；

（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

正确答案

解：（1）设双曲线方程为

由，同向，

∴渐近线的倾斜角为（0，），

∴渐近线斜率为：

∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）2|AB|，∴

∴

可得：，

而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=

而由对称性可知：OA的斜率为k=tan

∴；

∴∴

（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，c=b，

∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣b），

代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

4=，16=﹣，

∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）。点M（3，m）在双曲线上。

（1）求双曲线方程；

（2）求证：=0；

（3）求△F1MF2面积。

正确答案

解：（1）∵e=，

∴可设双曲线方程为x2-y2=λ

∵过点（4，-），

∴16-10=λ，即λ=6

∴双曲线方程为x2-y2=6。

（2）∵

∴

=-3+m2

∵M点在双曲线上，

∴9-m2=6，即m2-3=0

∴。

（3）△F1MF2的底|F1F2|=4，

由（2）知m=±

∴△F1MF2的高h=|m|=，

∴=6

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为（）；渐近线方程为（）。

正确答案

(±4，0)；x±y=0

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题型：填空题

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填空题

椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a=（）。

正确答案

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程y=x，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线l：交于M，N两点，

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）求证：为定值。

正确答案

解：（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为，

则，

∴所求双曲线方程为；

（Ⅱ）A1（-3，0），A2（3，0），F（5，0），

设P（x，y），，

∴（x+3，y），，

∵A1，P，M三点共线，

∴，

∴，即，

同理得，

∴，，

，

∴，

即=0（定值）。

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