热门试卷

解：（Ⅰ） ∵e=2，

∴c2=4a2，

∵c2=a2+3，

∴a=1，c=2，

∴双曲线方程为，渐近线方程为y=±x；

（Ⅱ）设A（x1， y1），B（x2， y2），AB的中点M（x，y），

∵，

∴=10，

∴=10，

又∵y1=x1，y2=x2，2x=x1+x2，2y=y1+y2，

∴y1+y2=（x1-x2），y1-y2=（x1+ x2），

∴=10，

∴3（2y）2+（2x）2=100，

∴，即为M的轨迹方程。　

解：直线的方程为，即

由点到直线的距离公式，且，

得到点（1，0）到直线l的距离，

同理得到点（-1，0）到直线l的距离

由得，即

于是得，即

解不等式，得

由于

所以e的取值范围是。

解：（1）

（2）

（3）

解：双曲线的a=3，c=5，

不妨设PF1＞PF2，

则PF1﹣PF2=2a=6F1F22=PF12+PF22，

而F1F2=2c=10

得PF12+PF22=（PF1﹣PF2）2+2PF1PF2=100

∴PF1PF2=32

∴

△F1PF2的面积16．

解：设M为分界线上任一点，则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,

即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=40 m,

所以M在以A，B为焦点的双曲线的右支上，

易得|AB|2=11200 m2，

建立如图所示的直角坐标系，

得分界线所在的曲（x≥20）．    

故运土时，在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．

解：（1）由题设知，l的方程为y=x+2，代人C的方程，并化简，得

设

则  ①

由M（1，3）为BD的中点知

，故，即  ②

故

所以C的离心率；

（2）由①、②知，C的方程为3x2-y2=3a2，

A（a，0），F（2a，0），

故不妨设x1≤-a，x2≥a

又|BF|·|FD|=17

故5a2+4a+8=17

解得a=1或（舍去）

故

连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切。

双曲线方程16x2-9y2=144化简为-=1

即a2=9，b2=16

∴c2=25，解得a=3，c=5，可得F1（-5，0），F2（5，0）…（3分）

设|PF1|=m，|PF2|=n，

由双曲线的定义知|m-n|=2a=6，又已知m•n=64，…（5分）

在△PF1F2中，由余弦定理知

cos∠F1PF2==

===

∴∠F1PF2=600

因此，△PF1F2的面积为

S△F1PF2=|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2=m•n•sin600=16…（12分）

解：（1）设是双曲线上任意一点，

该双曲的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0，

点到两条渐近线的距离分别是，

它们的乘积是，

点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数。

（2）设P的坐标为（x，y），

则

，

∵，

∴当时，的最小值为，即|PA|的最小值为。

解：（1）设是双曲线上任意一点，

该双曲的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0，

点到两条渐近线的距离分别是，

它们的乘积是，

点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数。

（2）设P的坐标为（x，y），

则

，

∵，

∴当时，的最小值为，即|PA|的最小值为。