双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有一个共同的焦点F，点M是双曲线与抛物线的一个交点，若|MF|=p，则此双曲线的离心率等于（　　）

A2

B3

C

D

正确答案

A

解析

解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0）．

∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有一个共同的焦点F，

∴c=．

∵点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，

∴M的横坐标为p，

代入抛物线方程，可得M的纵坐标为±p，

将M的坐标代入双曲线方程，可得

∴e=2

故选：A．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线M：和双曲线N：，其中b＞a＞0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵双曲线M方程为：，双曲线N方程为：，其中b＞a＞0，

∴两个双曲线的焦距相等，设其焦距为2c，其中c满足：

∵双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，

∴交点坐标为：（c，c），代入双曲线M（或双曲线N）的方程，得

，结合b2=c2-a2得：，

去分母，得c2（c2-a2）-a2c2=a2（c2-a2），

整理，得c4-3a2c2+a4=0，所以e4-3e2+1=0，解之得e2==（）2（另一值小于1舍去）

∴双曲线M的离心率e=

故选A

1

题型：单选题

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单选题

设F1、F2是双曲线-=1（a＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，且•=0，||•||=2，则a的值等于（　　）

A2

B1

C

D

正确答案

B

解析

解：由于•=0，所以三角形PF1F2为直角三角形，故PF12+PF22=4c2=20a

所以（PF1-PF2）2+2PF1•PF2=20a，

由双曲线定义得（4）2+4=20a，解得a=1，

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

已知双曲线一焦点坐标为（0，-5），一渐近线方程为3x+4y=0，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C或

D

正确答案

D

解析

解：∵双曲线一焦点坐标为（0，-5），

∴双曲线方程形式为：

∵渐近线方程为3x+4y=0，

∴c=5，，c2=a2+b2

解得：a=3，e==

故选：D

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•潜山县校级月考）已知中心在原点的双曲线C的右焦点F（2，0），且F到双曲线的一条渐近线的距离为1．

（I）求双曲线C的方程；

（II）若直线l：y=kx+2与双曲线C恒有两个不同的交点 A，B，且（ O为原点），求k的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）∵中心在原点的双曲线C的右焦点F（2，0），且F到双曲线的一条渐近线的距离为1，

∴c=2，b=1，

∴a=

∴双曲线C的方程为=1

（Ⅱ）直线l：y=kx+2与双曲线C，联立，可得（1-3k2）x2-12kx-15=0，

由直线l与双曲线交于不同的两点得1-3k2≠0，△＞0，

即k2≠，且k2＜①

x1+x2=，x1x2=-

由，得x1x2+y1y2＞2，

而x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4=

于是＞2，

∴＜k2＜，②

由①②得＜k2＜，

∴k的取值范围为（-）∪（）．

解析

解：（Ⅰ）∵中心在原点的双曲线C的右焦点F（2，0），且F到双曲线的一条渐近线的距离为1，

∴c=2，b=1，

∴a=

∴双曲线C的方程为=1

（Ⅱ）直线l：y=kx+2与双曲线C，联立，可得（1-3k2）x2-12kx-15=0，

由直线l与双曲线交于不同的两点得1-3k2≠0，△＞0，

即k2≠，且k2＜①

x1+x2=，x1x2=-

由，得x1x2+y1y2＞2，

而x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4=

于是＞2，

∴＜k2＜，②

由①②得＜k2＜，

∴k的取值范围为（-）∪（）．

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题型：单选题

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单选题

设F1，F2是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线C上存在点P满足|PF1|：|PF2|=2：1且∠F1PF2=90°，则双曲线C的渐近线方程是（　　）

Ax±2y=0

B2x±y=0

C5x±4y=0

D4x±5y=0

正确答案

B

解析

解：根据题意，得；

∴|PF1|=4a，|PF2|=2a；

又∠F1PF2=90°，

∴+=，

即（4a）2+（2a）2=（2c）2=4a2+4b2，

∴b2=4a2，

∴；

∴双曲线C的渐近线方程是2x±y=0．

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tan∠PF2F1=-2，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，

∴由正弦定理得，…①

又∵，tan∠PF2F1=-2，

∴tan∠F1PF2=-tan（∠PF2F1+∠PF1F2）=-=，可得cos∠F1PF2=，

△PF1F2中用余弦定理，得+-2PF1•PF2cos∠F1PF2==3，…②

①②联解，得，可得，

∴双曲线的，结合，得离心率

故答案为：

1

题型：填空题

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填空题

设双曲线（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，

∴，

∴=a，

∴双曲线的离心率e==．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

已知实数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线=1的离心率为（　　）

A

B2

C或2

D或

正确答案

C

解析

解：∵1，m，9构成一个等比数列，

∴m2=1×9，

则m=±3．

当m=3时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；

当m=-3时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，它的离心率是=2．

则离心率为或2．

故选C．

1

题型：简答题

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简答题

求下列曲线的标准方程：

（1）与椭圆x2+4y2=16有相同焦点，过点；

（2）与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线，求双曲线C的方程．

（3）焦点在直线3x-4y-12=0的抛物线的标准方程．

正确答案

解：（1）椭圆x2+4y2=16，可化为=1，焦点（±2，0）

设椭圆的方程为=1，

代入，可得=1，

∴m=4，

∴椭圆的方程为

（2）椭圆+=1的焦点为（±2，0），∴c=2，

∵直线y=x为一条渐近线，

∴=，

∴a=1，b=，

∴双曲线C的方程为；

（3）因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，

所以其焦点坐标即为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点

所以其焦点坐标为（4，0）和（0，-3）

当焦点为（4，0）时可知其方程中的P=8，所以其方程为y2=16x，

当焦点为（0，-3）时可知其方程中的P=6，所以其方程为x2=-12y，

综上所述，抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y．

解析

解：（1）椭圆x2+4y2=16，可化为=1，焦点（±2，0）

设椭圆的方程为=1，

代入，可得=1，

∴m=4，

∴椭圆的方程为

（2）椭圆+=1的焦点为（±2，0），∴c=2，

∵直线y=x为一条渐近线，

∴=，

∴a=1，b=，

∴双曲线C的方程为；

（3）因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，

所以其焦点坐标即为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点

所以其焦点坐标为（4，0）和（0，-3）

当焦点为（4，0）时可知其方程中的P=8，所以其方程为y2=16x，

当焦点为（0，-3）时可知其方程中的P=6，所以其方程为x2=-12y，

综上所述，抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y．

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