双曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点的椭圆的标准方程；

（2）求与椭圆有共同的焦点并且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程．

正确答案

解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为，则

∵右焦点坐标是（2，0），经过点

∴c2=a2-b2=4，，

解得a2=8，b2=4．

椭圆的标准方程为； …（6分）

（2）椭圆的焦点坐标为（0，±5），

双曲线的渐近线方程为y=±x，

由题意可设双曲线的标准方程为，

则c2=a2+b2=25，=，

解得a2=16，b2=9．双曲线的标准方程为

解析

解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为，则

∵右焦点坐标是（2，0），经过点

∴c2=a2-b2=4，，

解得a2=8，b2=4．

椭圆的标准方程为； …（6分）

（2）椭圆的焦点坐标为（0，±5），

双曲线的渐近线方程为y=±x，

由题意可设双曲线的标准方程为，

则c2=a2+b2=25，=，

解得a2=16，b2=9．双曲线的标准方程为

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题型：填空题

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填空题

过双曲线-=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是______．

正确答案

（，）

解析

解：由题意可得双曲线的渐近线斜率2＜＜3，

∵===，

∴＜e＜，

∴双曲线离心率的取值范围为（，）．

故答案为：（，）．

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题型：填空题

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填空题

已知P为双曲线（a＞0，b＞0）的左支上一点，F1，F2分别是它的左右焦点，直线PF2与圆：x2+y2=a2相切，切点为线段PF2的中点，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：由题意，△PF1F2为直角三角形，PF1⊥PF2，|PF1|=2a，|PF2|=|PF1|+2a=4a，

在直角△PF1F2中，4c2=4a2+16a2，

∴c2=5a2，

∴e=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

若双曲线（a＞0，b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

A（1，2）

B（2，+∞）

C（1，5）

D（5，+∞）

正确答案

B

解析

解：∵

则3e2-5e-2＞0，

∴e＞2或（舍去），

∴e∈（2，+∞），

故选B．

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题型：简答题

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简答题

求曲线的方程：

（1）求中心在原点，左焦点为F（-，0），且右顶点为D（2，0）的椭圆方程；

（2）求中心在原点，一个顶点坐标为（3，0），焦距为10的双曲线方程．

正确答案

解：（1）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

由题意可得：c=-，a=2，

所以解得：b=1，

所以椭圆方程为：+y2=1．

（2）因为双曲线的一个顶点坐标为（3，0），

所以双曲线的焦点在x轴上，

所以设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），

由已知得：a=3，c=5，

解得：b=4，

所以双曲线方程为：-=1．

解析

解：（1）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

由题意可得：c=-，a=2，

所以解得：b=1，

所以椭圆方程为：+y2=1．

（2）因为双曲线的一个顶点坐标为（3，0），

所以双曲线的焦点在x轴上，

所以设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），

由已知得：a=3，c=5，

解得：b=4，

所以双曲线方程为：-=1．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的离心率等于，则该双曲线的渐近线方程是______．

正确答案

y=±2x

解析

解：∵离心率等于，∴=，

∴

∴b=2a．而双曲线的焦点在x轴上，

所以双曲线的渐近线方程为y=±x，即y=±2x．

故答案为 y=±2x．

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题型：单选题

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单选题

若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为（　　）

Ax2-y2=1

By2-x2=1

C

D

正确答案

B

解析

解：∵椭圆的短轴端点坐标为（0，±1），

∴双曲线的顶点为（0，±1），可设方程为y2-

∵双曲线的离心率等于椭圆的离心率的倒数

∴由椭圆的离心率为，得双曲线的离心率e==

解之得b=1，从而双曲线的方程为y2-x2=1

故选：B

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（　　）

A-=1

B-=1

C-=1

D-=1

正确答案

A

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，

∴以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2=c2，

∵以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），

∴，解得a=3，b=4，

∴双曲线的方程为．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

等轴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的实根分别为x1和x2，则三边长分别为|x1|，|x2|，2的三角形中，长度为2的边的对角是（　　）

A锐角

B直角

C钝角

D不能确定

正确答案

C

解析

解：∵等轴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），

∴．

∵方程ax2+bx-c=0的实根分别为x1和x2．

∴．

设长度为2的边的对角是θ，则cosθ===＜0．

因此θ是钝角．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且，则点M到x轴的距离为______．

正确答案

解析

解：∵点M在双曲线上，∴|||-|||=2a=2，||=2c=2

又∵，∴△MF1F2为直角三角形，

∴=12，∴=4

设点M到x轴的距离为d，

∵，∴MF1⊥MF2，∴=|MF1|•|MF2|=|F1F2|•d

∴d==

故答案为

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