- 双曲线
- 共3579题
我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知F1、F2是一对“黄金搭档”的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是______．
正确答案
解析
解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，
由余弦定理得（2c）2=m2+n2-2mncos60°，
即4c2=m2+n2-mn，
设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，
由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m-n=2a2，
∴m=a1+a2，n=a1-a2，
将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22-4c2+a12=0，
a1=3a2，e1•e2=
解得e2=
故答案为：
已知双曲线C：
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵双曲线上存在点A使△AOF为正三角形，
设F为右焦点，OF=c，A在第一象限，
∴点A的坐标为（
代入双曲线方程得：
即为
即
解得e=1+
故选：C．
（1）则双曲线的方程为______；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
正确答案
解析
解：（1）∵双曲线的离心率e=2，点M（
∴
∵c2=a2+b2
∴a2=4，b2=12，
∴双曲线的方程为
（2）设OP直线方程为y=kx，OQ直线方程为y=-
y=kx代入双曲线方程，可得
∴x2=
∴
同理，
则
故答案为：
已知双曲线C以直线x±2y=0为渐近线，且经过点A（2，-2），则双曲线C的方程是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵双曲线C以直线x±2y=0为渐近线，
∴设双曲线的方程为x2-4y2=m；
代入点A（2，-2）得，
4-16=m；
故m=-12；
故x2-4y2=-12；
即
故选D．
抛物线y2=-8x的准线与双曲线
正确答案
解析
解：因为双曲线
且抛物线y2=-8x的准线方程为x=2，
所以交于点（2，1）和（2，-1）．
故所求S△=
故选D．
双曲线
正确答案
2或22
解析
解：双曲线
由双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a=10，
可设|PF1|=12，即有|12-|PF2||=10，
解得|PF2|=2或22．
若P为右支上一点，即有|PF2|=2≥c-a成立；
若P为左支上一点，即有|PF2|=22≥c+a成立．
故答案为：2或22．
已知双曲线C：
正确答案
解析
解：双曲线C：
∵A、B的连线过双曲线的右顶点，
∴
∵以双曲线C的右焦点为圆心的圆过O、A两点，
∴c2=（
由①②可得a=2，b=2
∴双曲线C的方程为
故答案为：
双曲线4x2+ty2-4t=0的虚轴长等于（ ）
A
B-2t
C
D4
正确答案
解析
解：双曲线4x2+ty2-4t=0可化为：
∴
∴双曲线4x2+ty2-4t=0的虚轴长等于
故选C．
过双曲线
A
B
C
D以上均不对
正确答案
解析
解：根据题意，A在双曲线的右支上，B在左支上，
设A（x1，y1），B（x2，y2），左焦点F（-c，0），如图所示
∵
∴x1-（-c）=4[x2-（-c）]，
∴x1=4x2+3c①；
又∵直线过焦点F，倾斜角为60°，
∴y=
直线方程与双曲线方程
b2x2-3a2（x+c）2=a2b2，
即（b2-3a2）x2-6a2cx-（3a2c2+a2b2）=0，
∴x1+x2=
由①②得，
x2=
又|
∴e=
化简得9e4-109e2+100=0，
解得e2=
∴e=
故选：B．
双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为______，渐近线方程为______．
正确答案
y=
解析
解：由题意得 2a=4，
双曲线的焦点在x轴上，故 该双曲线的标准方程为 
故答案为：
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