双曲线_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题

双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于______．

正确答案

解析

解：双曲线-y2=1的顶点坐标（2，0），其渐近线方程为y=±x，

所以所求的距离为=．

故答案为：．

1

题型：填空题

|

填空题

已知双曲线-=1，其右焦点为F，P其上一点，点M满足||=1，•=0，则的最小值为______．

正确答案

解析

解：∵||=1，∴点M是以点F（5，0）为圆心，1为半径的单位圆；

不妨设P为双曲线右支上的任一点，

∵•=0，∴⊥，

∴△PMF为直角三角形，且∠FMP=90°，||为该直角三角形的斜边长；

∵P为双曲线-=1上的点，

在Rt△FPM中，要使直角边||最小，由于||=1，

只需||最小，

∵当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时，||最小，此时P（3，0）．

∴||==，如图所示；

∴的最小值为．

故答案为：．

1

题型：单选题

|

单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）2+y2=1相交，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A（1，3）

B（，+∞）

C（1，）

D（3，+∞）

正确答案

C

解析

解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x-2）2+y2=1相交

∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1

∴3b2＜a2，

∴c2=a2+b2＜a2，

∴e=＜

∵e＞1

∴1＜e＜．

故选：C．

1

题型：简答题

|

简答题

已知直线l：x+y=1与双曲线C：-y2=1（a＞0）．

（1）若a=，求l与C相交所得的弦长；

（2）若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．

正确答案

解：（1）a=，l与C联立，消去y，可得3x2+2x-2=0，

∴l与C相交所得的弦长为=；

（2）由直线l：x+y=1与双曲线C：-y2=1，消去y，并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0，

∴，解得0＜a＜，且a≠1，

而双曲线C的离心率e==，从而e＞，且e≠，

故双曲线C的离心率e的取值范围为（，）∪（）．

解析

解：（1）a=，l与C联立，消去y，可得3x2+2x-2=0，

∴l与C相交所得的弦长为=；

（2）由直线l：x+y=1与双曲线C：-y2=1，消去y，并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0，

∴，解得0＜a＜，且a≠1，

而双曲线C的离心率e==，从而e＞，且e≠，

故双曲线C的离心率e的取值范围为（，）∪（）．

1

题型：单选题

|

单选题

已知F1，F2分别为双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

Ae＞

B1＜e＜

Ce＞

D1＜e＜

正确答案

A

解析

解：设点F2（c，0），

由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上，

由对称性可得，MF1=F1F2=2c，

则MO==c，∠MF1F2=60°，∠PF1F2=30°，

设直线PF1：y=（x+c），

代入双曲线方程，可得，（3b2-a2）x2-2ca2x-a2c2-3a2b2=0，

则方程有两个异号实数根，

则有3b2-a2＞0，即有3b2=3c2-3a2＞a2，即c＞a，

则有e=＞．

故选A．

1

题型：单选题

|

单选题

如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（　　）

A[，2+]

B[，]

C[，]

D[，+1]

正确答案

B

解析

解：设左焦点为F‘，令|AF|=r1，|AF'|=r2，则|BF|=|F'A|=r2，

∴r2-r1=2a，

∵点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，

∴|OA|=|OB|=|OF|=c，

∴r22+r12═4c2，

∴r1r2=2（c2-a2）

∵S△ABF=2S△AOF，

∴r1r2═2•c2sin2α，

∴r1r2═2c2sin2α

∴c2sin2α=c2-a2

∴e2=，

∵α∈[，]，

∴sin2α∈[，]，

∴e2=∈[2，（+1）2]

∴e∈[，+1]．

故选：B．

1

题型：简答题

|

简答题

已知点（4，-4）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，过焦点F且斜率为k（k＞0）的直线交抛物线C于A、B两点，|AB|=8，线段AB的垂直平分线交x轴于点G．

（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；

（Ⅱ）若线段AB的中点为H，求△FGH的外接圆方程．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知得，16=2p×4∴p=2

所以抛物线C的标准方程为y2=4x．

（Ⅱ）焦点F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，可得k2x-（2k+24）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．

∵|AB|=8，∴x1+x2+2=8，

∴+2=8，

∵k＞0，∴k=1．

∵线段AB的中点为H，

∴H（3，2），

∴直线HG的方程为y-2=-（x-3），令y=0得G（5，0），

△FGH的外接圆即为以FG为直径的圆，方程为（x-3）2+y2=4．

解析

解：（Ⅰ）由已知得，16=2p×4∴p=2

所以抛物线C的标准方程为y2=4x．

（Ⅱ）焦点F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，可得k2x-（2k+24）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．

∵|AB|=8，∴x1+x2+2=8，

∴+2=8，

∵k＞0，∴k=1．

∵线段AB的中点为H，

∴H（3，2），

∴直线HG的方程为y-2=-（x-3），令y=0得G（5，0），

△FGH的外接圆即为以FG为直径的圆，方程为（x-3）2+y2=4．

1

题型：单选题

|

单选题

设 F1F2分别为双曲线x2-y2=1的左，右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F1PF2为直角，则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为（　　）

A

B2

C

D

正确答案

D

解析

解：由题意，不妨设|F1P|＞|F2P|，

a=b=1，c=；

|F1P|-|F2P|=2，

|F1P|2+|F2P|2=8；

故（|F1P|+|F2P|）2=2（|F1P|2+|F2P|2）-（|F1P|-|F2P|）2=2×8-4=12；

故|F1P|+|F2P|=2；

则|F1P|=+1，|F2P|=-1；

故则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为

+==；

故选D．

1

题型：单选题

|

单选题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F2（2，0），设A、B是双曲线上关于原点对称的两点，AF2、BF2的中点分别为M、N，已知以MN为直径的圆经过原点，且直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（　　）

A

B

C2

D2

正确答案

C

解析

解：根据题意，设A（x1，y1），则B（-x1，-y1），

∵AF2的中点为M，BF2的中点为N，

∴M（（x1+2），y1），N（（-x1+2），-y1）．

∵原点O在以线段MN为直径的圆上，

∴∠NOM=90°，可得=（4-x12）-y12=0．…①

又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为，∴，…②．

由①②联解消去x1、y1，得-=，…③

又∵F2（2，0）是双曲线的右焦点，可得b2=c2-a2=4-a2，

∴代入③，化简整理得a4-8a2+7=0，解之得a2=1或7，

由于a2＜c2=4，所以a2=7不合题意，舍去．

故a2=1，得a=1，离心率e==2．

故选：C．

1

题型：填空题

|

填空题

双曲线-=1的顶点到渐近线的距离为______．

正确答案

解析

解：由已知得到双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=，即x-y=0，

所以顶点到渐近线的距离为；

故答案为：．

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析