双曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知双曲线C：-=1的焦点为F（-c，0），F′（c，0），c＞0，过F且平行于双曲线渐近线的直线与抛物线y2=4cx交于点P，若P在以FF′为直径的圆上，则该双曲线的离心率平方为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：如图，设抛物线y2=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，

双曲线的右焦点为F‘，由题意可知FF'为圆x2+y2=c2的直径，

∴设P（x，y），（x＞0），则PF'⊥PF，且tan∠PFF'=，

∴满足，

即有x2+4cx-c2=0，

则x=（-2）c，

即x=（-2）c，或x=（--2）c（舍去）

将x=（-2）c代入第三式，

得=，

即y=，再将y代入第一式得，=4c•（-2）c，

∴===e2-1，

即e2=1+=，

故选：D．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于M，N两点，且|MN|=4，求双曲线方程．

正确答案

解：设双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），直线方程为y=（x-2），b2=4-a2，

直线与双曲线方程联立，整理，可得（4-a2）x2+a2x-a2+a4=0，

∵|MN|=4，

∴（1+）[（-）2-4×]=16，

∴a=1，b=，

∴双曲线方程是x2-=1．

解析

解：设双曲线方程为=1（a＞0，b＞0），直线方程为y=（x-2），b2=4-a2，

直线与双曲线方程联立，整理，可得（4-a2）x2+a2x-a2+a4=0，

∵|MN|=4，

∴（1+）[（-）2-4×]=16，

∴a=1，b=，

∴双曲线方程是x2-=1．

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题型：填空题

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填空题

设F1、F2是双曲线-=1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，若△F1PF2的面积为2，则b等于______．

正确答案

=±

解析

解：设|PF1|=m，|PF2|=n，m＞n，则m-n=4，

∵4c2=m2+n2=4（4+b2）

∴mn=2b2，

∵△F1PF2的面积为2，

∴=2

∴b=±，

故答案为：±．

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题型：填空题

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填空题

双曲线=1的两条渐近线的夹角的弧度数为______．

正确答案

解析

解：双曲线=1的两条渐近线的方程为：y=±x，所对应的直线的倾斜角分别为，

∴双曲线=1的两条渐近线的夹角等于．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线与椭圆共焦点，双曲线的离心率为．

（1）求椭圆长轴长、离心率．

（2）求双曲线方程和渐近线方程．

正确答案

解：（1）椭圆的焦点为（±3，0），

a=4，b=，c=3．

则椭圆长轴长为2a=8，离心率为e==；

（2）设双曲线的方程为-=1（m＞0，n＞0），

则m2+n2=32，=，解得m=2，n=，

则双曲线方程为-=1，

则渐近线方程为y=±x．

解析

解：（1）椭圆的焦点为（±3，0），

a=4，b=，c=3．

则椭圆长轴长为2a=8，离心率为e==；

（2）设双曲线的方程为-=1（m＞0，n＞0），

则m2+n2=32，=，解得m=2，n=，

则双曲线方程为-=1，

则渐近线方程为y=±x．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线=1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且MF1⊥MF2，则点M到x轴的距离为______．

正确答案

解析

解：已知双曲线=1的焦点为F1（-3，0），F2（3，0）．

又∵MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=9上

故由得|y|=，

∴点M到x轴的距离为，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

（2015春•德宏州校级期中）已知F1，F2为双曲线x2-y2=1的两个焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为______．

正确答案

解析

解：由双曲线x2-y2=1的a=b=1，c=，

F2（，0），F1 （-，0），

由余弦定理可得，

F1F22=8=PF12+PF22-2PF1•PF2cos60°

=（PF1-PF2）2+PF1•PF2=4+PF1•PF2，

∴PF1•PF2=4．

则=PF1•PF2sin60°=×4×=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线C1：=1（a＞b＞0）的离心率为2．若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为______．

正确答案

x2=16y

解析

解：由题意可得双曲线渐近线为y=，

化为一般式可得bx±ay=0，离心率e===2，

解得b=a，∴c==2a，

又抛物线（p＞0）的焦点为（0，），

故焦点到bx±ay=0的距离d===2，

∴p===8，

∴抛物线C2的方程为：x2=16y

故答案为：x2=16y

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•株洲月考）已知F是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，F在线段AB上，O为坐标原点，若|OB|=2|OA|，则双曲线C的离心率是______．

正确答案

解析

解：由题意，OA⊥OB，|OB|=2|OA|，

∴∠AOB=60°，

∴∠AOF=30°，

∴=tan∠AOF=tan30°=，

∴e==．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，若曲线y（y-kx）=0与双曲线C有且仅有2个交点，则实数k的取值范围______．

正确答案

k≤-或k≥或k=0

解析

解：∵双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，

∴=，

∵曲线y（y-kx）=0与双曲线C有且仅有2个交点，

∴k≤-或k≥或k=0．

故答案为：k≤-或k≥或k=0．

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