热门试卷

（方法1）设菱形的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x,y轴，建立空间直角坐标系如图1．设BE =" t" （t > 0）．

（Ⅰ）

设平面的法向量为，则

        3分

设平面的法向量为，

则     4分

设二面角的大小为，则，   6分

∵cosqÎ，  ∴ ，    

解得£ t £． 所以BE的取值范围是 [，]．    8分

(Ⅱ) 设，则

由平面平面，得平面，

,化简得：(t ¹a)，即所求关系式：（BE ¹a).

∴当0< t < a时，< 1. 即：当0 < BE < a时，恒有< 1．       14分

（方法2）

（Ⅰ）如图2，连接D1A，D1C，EA，EC，D1O，EO，

∵ D1A= D1C，所以，D1O⊥AC，同理，EO⊥AC，

∴是二面角的平面角．设其为q．        3分

连接D1E，在△OD1E中，设BE =" t" （t > 0）则有：

OD1 = ，OE = ，D1E = ，

∴ .                                  6分

∵cosqÎ，  ∴ ，    

解得£ t £． 所以BE的取值范围是 [，]．

所以当条件满足时，£ BE £．                 8分

（Ⅱ）当点E在平面A1D1C1上方时，连接A1C1，则A1C1∥AC，

连接EA1，EC1，设A1C1的中点为O1，则O1在平面BDD1内，过O1作O1P∥OE交D1E于点P，则平面平面．

作平面BDD1如图3．过D1作D1B1∥BD交于l点B1，设EO交D1B1于点Q．

因为O1P∥OE，所以==，

由Rt△EB1Q∽RtEBO，得，解得QB1 = ，得=，  12分

当点E在平面A1D1C1下方时，同理可得，上述结果仍然成立．       13分

∴有=（BE ¹a），∴当0 < t < a时，< 1.      14分

略

解：

略

（1） 

   又 

（2）过H作HE⊥AD于E，连结PE，则AD⊥平面PEH

又AD平面PAD

过H作HG⊥PE于G，则HG⊥平面PAD，

 ∴△APB为等边三角形

 ，

在Rt△ADH中,可得HD="1" ;在Rt△DEH中 ,可得HE=

在Rt△PHE中 ,tan∠HPE=

故PH与平面PAD所成角为arctan

略

（1）

（2）略

（3）

解：

　　法一：

　　如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

　　设,

　　依题意得,,,

　　（1）易得,,

　　　　 于是

　　　　 所以异面直线与所成角的余弦值为

　　（2）已知,

　　　　 ,

　　　　 于是·=0，·=0.

　　　　 因此，,,又

　　　　 所以平面

　　（3）设平面的法向量，则,即

　　　　 不妨令X=1,可得。

　　　　 由（2）可知，为平面的一个法向量。

　　　　 于是，从而,

　　　　 所以二面角的正弦值为

　　法二：

　　（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

　　　　 连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，

　　　　 由,可知EF∥BC1.

　　　　 故是异面直线EF与A1D所成的角，

　　　　 易知BM=CM=,

　　　　 所以 ,

　　　　 所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为

　　（2）连接AC，设AC与DE交点N 因为，

　　　　 所以，从而，

　　　　 又由于,所以，

　　　　 故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.

　　　　 连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,

　　　　 所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED.

　　（3）连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,

　　　　 又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,

　　　　 故为二面角A1-ED-F的平面角.

　　　　 易知，所以，

　　　　 又所以，

　　　　 在

　　　　 ,

　　　　 连接A1C1,A1F 在

　　　　 。所以

　　　　 所以二面角A1-DE-F正弦值为.