热门试卷

证明略，（4）A1B与B1C所成的角为90°

（1） 方法一 由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1，

又∵C1M平面A1B1C1，∴AA1⊥MC1.

又∵C1A1=C1B1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1.

又A1B1∩A1A=A1，∴C1M⊥平面AA1B1B.

方法二  由直棱柱性质得：平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，交线为A1B1，又∵C1A1=C1B1，M为A1B1的中点，

∴C1M⊥A1B1于M.

由面面垂直的性质定理可得C1M⊥平面AA1B1B.

（2） 由（1）知C1M⊥平面A1ABB1，

∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.

∵AC1⊥A1B，MC1⊥A1B，MC1∩AC1=C1，

∴A1B⊥平面AMC1，又AM平面AMC1，∴A1B⊥AM.

（3）方法一  由棱柱性质知四边形AA1B1B是矩形，

M、N分别是A1B1、AB的中点，

∴ANB1M.

∴四边形AMB1N是平行四边形.

∴AM∥B1N.

连接MN，在矩形AA1B1B中有

A1B1AB.

∴MB1 BN，∴四边形BB1MN是平行四边形.

∴BB1  MN.又由BB1 CC1，知MN CC1.

∴四边形MNCC1是平行四边形.∴C1MCN.

又C1M∩AM=M，CN∩NB1=N，

∴平面AMC1∥平面NB1C.

方法二 由（1）知C1M⊥平面AA1B1B，

A1B平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B.

又∵A1B⊥AC1，而AC1∩C1M=C1，

∴A1B⊥平面AMC1.

同理可证，A1B⊥平面B1NC.

∴平面AMC1∥平面B1NC.

(4) 方法一 由（2）知A1B⊥AM，

又由已知A1B⊥AC1，AM∩AC1=A，

∴A1B⊥平面AMC1.

又∵平面AMC1∥平面NB1C，

∴A1B⊥平面NB1C.

又B1C平面NB1C，∴A1B⊥B1C.

∴A1B与B1C所成的角为90°.

方法二 由直棱柱的性质有平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，又CA=CB=C1A1，N为AB的中点，

∴CN⊥AB.

∴CN⊥平面AA1B1B.

∴CB1在侧面AA1B1B上的射影是NB1.

又由（2）知A1B⊥AM，由（3）知B1N∥AM，

∴A1B⊥B1N，CN⊥A1B，

∴A1B⊥平面B1NC，又B1C平面B1NC，∴A1B⊥B1C.

∴A1B与B1C所成的角为90°.

（Ⅰ）中点（Ⅱ）

解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），

设G（0，2，h），则

∴－1×0+1×（－2）+2h="0. " ∴h=1，即G是AA1的中点. 

（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则

所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）

∵

∴，即AC1与平面EFG所成角为 

解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED//BC

∵BC⊥AC，∴ED⊥AC.又CC1⊥平面ABC，而ED平面ABC，∴CC1⊥ED.

∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1.

又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG.

连结A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C//DG.

∵D是AC的中点，∴G是AA­1的中点.

（Ⅱ）取CC1的中点M，连结GM、FM，则EF//GM，

∴E、F、M、G共面.作C1H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB1C1C，

C1H平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC//GM，∴GM⊥C1H. ∵GM∩FM=M，

∴C1H⊥平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ.

因为 

(1) 证明略(2) 二面角A—CC1—B余弦值为.

方法一 (1) ∵A1A⊥平面ABC,BC平面ABC,

∴A1A⊥BC.

在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=.

∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==,

∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,

即AD⊥BC.

又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.

∵BC平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

(2) 如图①,作AE⊥C1C交C1C于E点,连接BE,由已知得AB⊥平面ACC1A1,

∴AE是BE在平面ACC1A1内的射影.

由三垂线定理知BE⊥CC1,

∴∠AEB为二面角A—CC1—B的平面角.                                                 图①

过C1作C1F⊥AC交AC于F点,

则CF=AC-AF=1,

C1F=A1A=,∴∠C1CF=60°.

在Rt△AEC中,

AE=ACsin60°=2×=,

在Rt△BAE中,tan∠AEB===,

∴cos∠AEB=,

即二面角A—CC1—B余弦值为.

方法二 (1) 如图②,建立空间直角坐标系,

图②

则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),

A1(0,0,),C1(0,1, ).

∵BD∶DC=1∶2,∴=,

∴D点坐标为,

∴=, =(-,2,0),=(0,0,).

∵·=0，·=0，

∴BC⊥AA1，BC⊥AD.又A1A∩AD=A，

∴BC⊥平面A1AD.又BC平面BCC1B1，

∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

（2） ∵BA⊥平面ACC1A1，取m==(,0,0)为平面ACC1A1的法向量.

设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),

则·n=0，·n=0，

∴

∴x=y，z=，可取y=1，则n=，

cos〈m,n〉=

=,

即二面角A—CC1—B的余弦值为.