- 柱、锥、台、球的结构特征
- 共3509题
给出下列命题：①底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的是______．
正确答案
根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
可以判断①底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，是正棱锥；故正确．
②侧棱都相等的棱锥是正棱锥不正确；因为底面不一定是正多边形．故错误．
③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥不正确；底面不一定是正多边形．故错误．
④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥；底面不一定是正多边形．错误．
其中正确命题的是①
故答案为：①．
若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为a，则cosa=______．
正确答案
不妨认为一个正四棱柱为正方体，与正方体的所有面成角相等时，
为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等，
即为体对角线与该正方体所成角．
所以 cosa=
故答案为：
在三棱锥P-ABC中，给出下列四个命题：
①如果PA⊥BC，PB⊥AC，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；
②如果点P到△ABC的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心；
③如果棱PA和BC所成的角为60？，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1；
④三棱锥P-ABC的各棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于
⑤如果三棱锥P-ABC的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-arccos
其中正确命题的序号是______．
正确答案
①若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PH⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
②若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，则H是△ABC的外心，不正确．
③如果棱PA和BC所成的角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1或 
④如果三棱锥P-ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于 
⑤如果三棱锥P-ABC的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-arccos
故答案为：①④⑤．
如图，在多面体
（1）若
（2）求证：
（3）若
正确答案
（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
试题分析：（1）证明线面平行即证明这条直线与平面内某条直线平行.本题中，四边形
试题解析：（1）
（2）
又
（3）
从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体（或平面图形）的4个顶点，这些几何体（或平面图形）是______（写出所有正确的结论的编号）
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体．
正确答案
①正方体的六个面或对角面都是矩形，所以①正确；
②不是矩形的平行四边形，因为正方体的棱与棱的关系只有两种：平行、垂直，所以满足②的图形不存在，②是错误的；
③例如：E-ABD四面体，有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④例如：E-BDG四面体，每个面都是等边三角形的四面体．
故答案为：①③④．
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