柱、锥、台、球的结构特征
共3509题

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柱、锥、台、球的结构特征
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题型：填空题

填空题

在四面体PABC中，已知PA=PB=PC=AB=AC=,BC=,则P-ABC的体积V的取值范围是_____________。

正确答案

(0,

取PA中点M，连BM，CM，则BMC就是二面角B-PA-C的平面角，且PA平面MBC，令BMC=，则V=

题型：简答题

简答题

如果一条直线与两个平等平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．

如图，已知，，求证与相交．

正确答案

证明见答案

如图，在上取一点，过和作平面，

由于与有公共点，与有公共点，

所以，与，都相交．

设，，

因为，所以．

又因为，，都在平面内，且与相交于点，

所以与相交．

题型：简答题

简答题

一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、G分别是AB、DF的中点。

（1）在AD上（含A、D端点）确定一点P，使得GP//平面FMC；

（2）一只苍蝇在几何体ADF-BCE内自由飞翔，求它飞入几何体F-AMCD内的概率。

正确答案

(Ⅰ)略(Ⅱ)

：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC

(1)点P在A点处证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA

∵G是DF的中点，GS//FC，AS//CM

∴面GSA//面FMC，而GA面GSA…………9分

（2）所以概率为…………12分

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）如图4，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD，侧面底面ABCD，且为等腰直角三角形，，M为AP的中点。

（1）求证：

（2）求证：DM//平面PCB；

（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小。

正确答案

同解析

解法一：（1）取的中点，连结．

， …………2分

，且，

是正三角形，,又,

平面．

． …………4分

（2）取的中点，连结．

分别为的中点，

，且．

∵四边形是直角梯形，且，

且． …………6分

∴四边形是平行四边形．

．

平面，平面

平面． …………8分

（3）延长与交点为，连结．

过作于一定，

连结，则．

为平面与平面所成锐二面角的平面角． …………0分

设,则,

．

又因为,

平面与平面所成锐二面角的大小为． …………12分

解法二：（1）同解法一

（2） ∵侧面底面，

又，底面．

．

∴直线两两互相垂直，

故以为原点,直线所在直线为轴、轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则可求得

，

．

设是平面的法向量，则且．

取，得． …………6分

是的中点，．

．

平面，

平面． ………………………8分

（3）又平面的法向量，

设平面与平面所成锐二面角为,

则,…………10分

平面与平面所成锐二面角的大小为．…………12分

题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点 .

（I）求证：平面；

（II）求二面角的余弦值大小；

（III）求证：平面⊥平面.

正确答案

（Ⅰ）证明见解析（II）二面角的余弦值为．（III）证明见解析

（Ⅰ）证明：连结交于，连结.

是正方形，∴是的中点. ----------1分

是的中点，∴是的中位线. ∴. ----------2分

又∵平面，平面，----------3分

∴平面.------------------4分

（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

由故设，则

. ----------6分

底面，

∴是平面的法向量，．----------7分

设平面的法向量为,

则即

∴ 令,则. ----------9分

∴,

∴二面角的余弦值为．------------------10分

（III），，

----------11分

又且.----------12分

. 又平面 ----------13分

∴平面⊥平面. ------------------14分

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