热门试卷

解：（Ⅰ）当为的中点时，平面………………………………1分

证明：取的中点、的中点，连结

B

是平行四边形……………………3分

平面…………………………4分

（Ⅱ）

平面

平面……………………………………………………………………6分

平面

平面平面……………………………………………………………7分

（Ⅲ）

平面

过作，连结，则

则为二面角的平面角………………………………………9分

设，则

在中，

又

由得…………………………………………11分

面角的正切值………………………………………………12分

,

解:

(1)∵在正方形ABCD中AD∥BC，

∴AD与平面AEC所成的角即

为BC与平面AEC所成的角

∵PB⊥面AEC，

∴BC与平面AEC所成的角的余角即为∠PBC，

又BC⊥CD且BC⊥PD，所以BC⊥PC，tan∠PBC==，

设BC与平面AEC所成的角为θ，

则tanθ=    7分

(2)∵PB⊥面AEC，∴PB⊥EC，

又空间一点E在平面ABCD上的射影是点B，AB⊥BC，

所以由三垂线定理可以得到AB⊥EC，

故EC⊥面PAB，所以EC⊥BF，

即EC与BF成        14

解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B1(2，2，2)、D1(0，0，2)、E(1，0，2 )、F(0，2，1)．

（1）取AD1中点G，则G（1，0，1），=（1，-2，1），又=（-1，2，-1），由=，   ∴与共线．从而ＥＦ∥ＣＧ，∵CG平面ACD1，EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.………………………（6分）网

（2）设面EFB的一个法向量，由得，故可取，………（8分）取底面ABCD的一个法向量，由，所成的锐二面角余弦值的大小为．……（12分）

(Ⅰ)证明见解析。   (Ⅱ) arctan2（Ⅲ）

法一：（1）证明：连结OC，∵ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO垂直BD。（1分）∴ AO=CO=。……（2分）在AOC中，AC=，∴AO2+CO2=AC2，

∴∠AOC=900，即AO⊥OC。∴BDOC=O，∴AO⊥平面BCD。……（3分）

（2）过O作OE垂直BC于E，连结AE，∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影为OE。

∴AE⊥BC。∠AEO为二面角A—BC—D的平面角。……（7分）

在RtAEO中，AO=，OE=，∠，∴∠AEO=arctan2。

二面角A—BC—D的大小为arctan2。

（3）设点O到面ACD的距离为∵VO-ACD=VA-OCD，∴。

在ACD中，AD=CD=2，AC=，。

      而AO=，，∴。      ∴点O到平面ACD的距离为。…（13分）

解法二：（1）同解法一。

（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则O（0，0，0），A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（-1，0，0）

∵AO⊥平面DCD，    ∴平面BCD的法向量=(0,0,)。…（5分）

      设平面ABC的法向量，      ，

由。设与夹角为，

则。∴二面角A—BC—D的大小为arccos。………（8分）

（3）解：设平面ACD的法向量为又

。……（11分）

设与夹角为，则设O到平面ACD的距离为，

∵,∴O到平面ACD的距离为。（13分）