热门试卷

60°，

解法一：

(1) 过O作OF⊥BC于F，连接O1F，

∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F，

∴∠O1FO是二面角O1－BC－D的平面角，········ 3分

∵OB = 2，∠OBF = 60°，∴OF =．

在Rt△O1OF中，tan∠O1FO =

∴∠O1FO="60°" 即二面角O1—BC—D的大小为60°············· 6分

(2) 在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C

∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交线O1F．

过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，··········· 10分

∴OH = ∴点E到面O1BC的距离等于················ 12分

解法二：

(1) ∵OO1⊥平面AC，

∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，········· 2分

建立如图所示的空间直角坐标系（如图）

∵底面ABCD是边长为4，∠DAB = 60°的菱形，

∴OA = 2，OB = 2，

则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），O1（0，0，3）··· 3分

设平面O1BC的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，

∴，则z = 2，则x=－，y = 3，

∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）········ 5分

∴ cos<，>=，

设O1－BC－D的平面角为α， ∴cosα=∴α=60°．

故二面角O1－BC－D为60°．······················ 6分

(2) 设点E到平面O1BC的距离为d，

∵E是O1A的中点，∴=（－，0，），············· 9分

则d=

∴点E到面O1BC的距离等于．···················· 12分

,

解：（I）因为A1D⊥平面ABC，

所以平面AA1C1C⊥平面ABC，                      …………1分

又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，

得BC⊥AC1，又BA1⊥AC1                               w.&…………2分

所以AC1⊥平面A1BC；                                    …………3分

（II）因为AC1⊥A1C，所以四边形AA1C1C为菱形，

故AA1=AC=2，又D为AC中点，知                         …………4分

取AA1中点F，则AA1⊥平面BCF，从而平面A1AB⊥平面BCF，…………6分

过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB，

在                      …………7分

即CC1到平面A1AB的距离为                                      …………8分

（III）过H作HG⊥A1B于G，连CG，则CG⊥A1B，

从而为二面角A—A1B—C的平面角，                                 …………9分

在

在中，                                 w.&…………11分

故二面角A—A1B—C的大小为                                      …………12分

（1）证明见解析     （2）直线与所成角为直角   

（3） 证明见解析    （4）1

（1）∵是正方体，∴面． 

又，  ∴．           

（2）取中点，连结，．因为是的中点，所以、平行且相等，又、平行且相等，所以、平行且相等，故是平行四边形，．

设与相交于点，则是与所成的角，

因为是的中点，所以≌，，

从而，即直线与所成角为直角．

（3）由(1)知，由(Ⅱ)知，又，

所以⊥面．

又因为，所以面面．    

（4）连结，，∵，∴，

∵，面积．

又  ，

∴．