柱、锥、台、球的结构特征
共3509题

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柱、锥、台、球的结构特征
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题型：填空题

填空题

如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=,BB1=2,∠ABC=90°,E、F分为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度是________.

正确答案

解析：将三棱柱侧面、底面展开有三种情形，如图

在(1)中；

在(2)中；

在(3)中；

比较知(3)最小.

题型：填空题

填空题

已知圆台的上底半径为2cm,下底半径为4cm，圆台的高为cm,则侧面展开图所在扇形的圆心角=______.

正确答案

试题分析：因为圆台的上底半径为2cm,下底半径为4cm，圆台的高为cm，所以圆台的母线长为3cm；

设侧面展开图所在扇形的圆心角为，则，∴=.

题型：简答题

简答题

半径为的球面上有、、三点，已知和间的球面距离为，和，和的球面距离都为，求、、三点所在的圆面与球心的距离．

正确答案

解：设球心为O，连结OA，OB，OC，AB，AC，BC，则由A、B、C、O形成一个三棱锥．

因为A和C间的球面距离为，所以

；

同理由A和B，B和C的球面距离都为

，有，

且，…………………………………（6分）

如图，则有，所以是等腰直角三角形；

因为，则点O在平面ABC的射影是的外心．……（9分）

而是等腰直角三角形，其外心是斜边AC的中点，设中点为E，连结OE，则线段OE的长度是点O到平面ABC的距离．

对，，

，易知

．

题型：简答题

简答题

（本小题满分9分）如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1).

(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:

(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。

正确答案

（Ⅰ）见解析；(II) 。

运用三垂线定理证明线线垂直，第二问是告诉二面角求参数的值，这是二面角的逆向问题，仍然要作出二面角，求二面角才能解出参数。这题除了用传统的证法与求角的方法外，也可以应用空间向量来解决。

解：（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。

SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理得ACBE.

(II)解法1：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， SDCD.

又底面ＡＢＣＤ是正方形，ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。

过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，

故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°

在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。

于是，DF=

在Rt△CDF中，由cot60°=

得，即=3 解得。

题型：简答题

简答题

（本小题满分13分）如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且，

（1）求证：平面；

（2）求凸多面体的体积．

正确答案

（1）见解析；（2）

本试题主要考查了多面体的体积的求解以及线面垂直的判定定理的运用。

（1）要证明AB垂直于平面，则利用AB//CD，通过证明CD垂直于平面得到证明。

（2）对多面体的体积可知看作是四棱锥的体积，结合分割的思想转化为两个三棱锥的体积和，得到结论。

（1）证明：∵平面，平面，

∴．

在正方形中，，

∵，∴平面．

∵，

∴平面．………………7分

（2）解法1：在△中，，，

∴．

过点作于点，

∵平面，平面，

∴．

∵，

∴平面．

∵，

∴．

又正方形的面积，

∴

．

故所求凸多面体的体积为．………………14分

解法2：在△中，，，

∴．

连接，则凸多面体分割为三棱锥

和三棱锥．

由（1）知，．

∴．

又，平面，平面，

∴平面．

∴点到平面的距离为的长度．

∴．

∵平面，

∴．

故所求凸多面体的体积为．………………14分

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