圆锥曲线的参数方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为______．

正确答案

3

解析

解：由直线l的参数方程，消去t，即得普通方程为，…①

设直线l的斜率为k，则．

由圆C的参数方程，消去θ，即得普通方程为x2+y2=9，…②

联立①、②式，消去y，整理得2x2+9x+9=0．

又设l与C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

则由韦达定理，得，

由弦长公式|AB|=，

得|AB|=．

故答案为：3．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=，点F1，F2为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．

（1）求直线l的普通方程和椭圆C的直角坐标方程；

（2）求点F1，F2到直线l的距离之和．

正确答案

解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），消去t，

可得 y=x-2，即直线l的普通方程为 x-y-2=0．

由椭圆C的极坐标方程为ρ2=，可得3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，

化为直角坐标方程为 3x2+4y2=12，即 +=1．

故椭圆C的直角坐标方程为 +=1．

（2）由（1）可得点F1（-1，0），F2（1，0），

求点F1到直线l的距离为 =，F2到直线l的距离为=，

∴点F1，F2到直线l的距离之和为 +=2．

解析

解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），消去t，

可得 y=x-2，即直线l的普通方程为 x-y-2=0．

由椭圆C的极坐标方程为ρ2=，可得3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，

化为直角坐标方程为 3x2+4y2=12，即 +=1．

故椭圆C的直角坐标方程为 +=1．

（2）由（1）可得点F1（-1，0），F2（1，0），

求点F1到直线l的距离为 =，F2到直线l的距离为=，

∴点F1，F2到直线l的距离之和为 +=2．

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题型：简答题

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简答题

（2016•淮北一模）已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．

（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

正确答案

解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，

得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，

故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；

（2）直线l的参数方程为（ t为参数，0≤α＜π）．

故l经过点（0，1）；

若直线l经过点（1，0），则，

∴直线l的参数方程为（t为参数）．

代入y2=4x，得t+2=0

设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6，t1t2=2．

|AB|=|t1-t2|===8．

解析

解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，

得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，

故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；

（2）直线l的参数方程为（ t为参数，0≤α＜π）．

故l经过点（0，1）；

若直线l经过点（1，0），则，

∴直线l的参数方程为（t为参数）．

代入y2=4x，得t+2=0

设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6，t1t2=2．

|AB|=|t1-t2|===8．

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题型：单选题

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单选题

直线l：（t为参数）的倾斜角为（　　）

A20°

B70°

C160°

D120°

正确答案

B

解析

解：直线l：即，表示过点（-2，5），倾斜角等于70°的直线，

故选B．

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题型：填空题

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填空题

若直线l：（t为参数）与圆C：ρ=2cosθ相切，则k=______．

正确答案

解析

解：由ρ=2cosθ得，ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，

所以圆C的普通方程是：（x-1）2+y2=1，且圆心（1，0），半径是1，

因为直线l：（t为参数），

所以直线l的普通方程是：kx-y+=0，

因为直线l与圆C相切，所以=1，解得k=，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（其中t为参数），以Ox为极值的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则圆心到直线的距离为______．

正确答案

解析

解：由，-y=0．

再由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，即x2-4x+y2=0

化为标准式得（x-2）2+y2=4，则圆心C（2，0），半径为2．

所以．

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程选讲．

以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，-5），点C的极坐标为

（），若直线l经过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4．

（1）求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程；

（2）试判断直线l与圆C有位置关系．

正确答案

解：（1）直线l的参数方程，即（t为参数）．

由题知C点的直角坐标为（0，4），圆C半径为4，

∴圆C方程为x2+（y-4）2=16，将代入，求得圆C极坐标方程ρ=8sinθ．

（2）由题意得，直线l的普通方程为 x-y-5-=0，

圆心CC到l的距离为d==＞4，

∴直线l与圆C相离．

解析

解：（1）直线l的参数方程，即（t为参数）．

由题知C点的直角坐标为（0，4），圆C半径为4，

∴圆C方程为x2+（y-4）2=16，将代入，求得圆C极坐标方程ρ=8sinθ．

（2）由题意得，直线l的普通方程为 x-y-5-=0，

圆心CC到l的距离为d==＞4，

∴直线l与圆C相离．

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题型：填空题

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填空题

设直线的参数方程是，那么它的斜截式方程是______．

正确答案

解析

解：∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程可得y-3=（x-2），

那么它的斜截式方程是．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

曲线C极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则曲线C上的点到直线l的距离的最小值为______．

正确答案

解：曲线C极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0，化为直角坐标方程可得（x-2）2+（y-2）2=2，

表示以（2，2）为圆心、半径r=的圆．

把直线l的参数方程为（t为参数）化为直角坐标方程为x+y-1=0，

由于圆心（2，2）到直线的距离d==，

则曲线C上的点到直线l的距离的最小值为d-r=，

故答案为：．

解析

解：曲线C极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0，化为直角坐标方程可得（x-2）2+（y-2）2=2，

表示以（2，2）为圆心、半径r=的圆．

把直线l的参数方程为（t为参数）化为直角坐标方程为x+y-1=0，

由于圆心（2，2）到直线的距离d==，

则曲线C上的点到直线l的距离的最小值为d-r=，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

直线为参数）的斜率为______．

正确答案

解析

解：∵直线为参数），

∴，

∴2x+2=，化简可得 +2y+-2=0，故斜率为．

故答案为．

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