等差数列的前n项和
共3762题

等差数列的前n项和
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题型：填空题

填空题

等差数列{an}的公差d＜0，且a12=a102，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n=______．

正确答案

解析

解：由d＜0，a12=a102，知a1+a10=0

∴a5+a6=0，所以此数列从从第6项开始，以后每项都小于0，

故Sn取得最大值时的项数n=5．

故答案为：5．

题型：简答题

简答题

已知等差数列{an}的通项公式为an=10-3n，求|a1|+|a2|+…+|an|．

正确答案

解：设等差数列{an}的前n项和为Sn，

∵an=10-3n，∴数列的首项为a1=7，公差为d=-3，

∴a3=1＞0，a4=-2＜0；

∴该数列的前n项和为

Sn=na1+=7n-n（n-1）=-n2+n；

当n≤3时，|a1|+|a2|+…|an|=Sn=-n2+n；

当n＞3时，|a1|+|a2|+…+|an|=-Sn+2S3=n2-n+24；

即Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|

=．

解析

解：设等差数列{an}的前n项和为Sn，

∵an=10-3n，∴数列的首项为a1=7，公差为d=-3，

∴a3=1＞0，a4=-2＜0；

∴该数列的前n项和为

Sn=na1+=7n-n（n-1）=-n2+n；

当n≤3时，|a1|+|a2|+…|an|=Sn=-n2+n；

当n＞3时，|a1|+|a2|+…+|an|=-Sn+2S3=n2-n+24；

即Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|

=．

题型：简答题

简答题

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，点2a5=a10，且S5=120．求an和Sn．

正确答案

解：设等差数列的首项为a1，公差为d，

则S5=5a1+d=120，

∴a1+2d=24；

又2（a1+4d）=a1+9d，

∴a1=d；

∴a1=8，d=8；

∴an=a1+（n-1）d=8n，

∴Sn===4n2+4n．

解析

解：设等差数列的首项为a1，公差为d，

则S5=5a1+d=120，

∴a1+2d=24；

又2（a1+4d）=a1+9d，

∴a1=d；

∴a1=8，d=8；

∴an=a1+（n-1）d=8n，

∴Sn===4n2+4n．

题型：简答题

简答题

设等差数列{an}满足a2=5，a7=-5．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求{an}的前n项和Sn及何时Sn取得最大值，最大值是多少．

正确答案

解：（1）由题意可得数列{an}的公差d==-2，

故a1=a2-d=5-（-2）=7，

故{an}的通项公式为an=7-2（n-1）=9-2n，

（2）由（1）可知an=9-2n，令an=9-2n≤0，可解得n≥，

故可知数列{an}的前4项均为正数，从第5项开始为负值，

故可知数列的前4项和最大，最大值为S4=4×7+=16

解析

解：（1）由题意可得数列{an}的公差d==-2，

故a1=a2-d=5-（-2）=7，

故{an}的通项公式为an=7-2（n-1）=9-2n，

（2）由（1）可知an=9-2n，令an=9-2n≤0，可解得n≥，

故可知数列{an}的前4项均为正数，从第5项开始为负值，

故可知数列的前4项和最大，最大值为S4=4×7+=16

题型：简答题

简答题

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差小于零，a7a8＜0，且|a7|＞|a8|，求满足Sn＜0的n的最小值．

正确答案

解：∵等差数列{an}的公差小于零，又a7a8＜0，可得a7＞0，a8＜0，

由|a7|＞|a8|，得a7＞-a8，∴a7+a8＞0．

则，

S15=15a8＜0．

∴满足Sn＜0的n的最小值为15．

解析

解：∵等差数列{an}的公差小于零，又a7a8＜0，可得a7＞0，a8＜0，

由|a7|＞|a8|，得a7＞-a8，∴a7+a8＞0．

则，

S15=15a8＜0．

∴满足Sn＜0的n的最小值为15．

题型：填空题

填空题

已知等比数列{an}（n∈N*）满足a1=2，a4=54，等差数列{bn}（n∈N*）满足b1=a1，b3=a2，求数列{bn}的前n项和Sn．

正确答案

解析

解：∵等比数列{an}满足a1=2，a4=54，

∴公比q==3，∴a2=a1q=6，

∴等差数列{bn}中b1=a1=2，b3=a2=6，

∴公差d==2，

∴数列{bn}的前n项和Sn=nb1+d=n2+n．

题型：单选题

单选题

在数列{an}中，a1=8，an+1-an=-3，则-49是此数列中的第（　　）项．

A19

B20

C21

D不是数列中的项

正确答案

解析

解：由a1=8，an+1-an=-3，可知：数列{an}是等差数列，

∴an=a1+（n-1）d=8-3（n-1）=11-3n，

令11-3n=-49，解得n=20．

故选B．

题型：简答题

简答题

已知等差数列{an}的通项公式为an=10-3n，求|a1|+|a2|+…+|an|．

正确答案

解：设等差数列{an}的前n项和为Sn，

∵an=10-3n，∴数列的首项为a1=7，公差为d=-3，

∴a3=1＞0，a4=-2＜0；

∴该数列的前n项和为

Sn=na1+=7n-n（n-1）=-n2+n；

当n≤3时，|a1|+|a2|+…|an|=Sn=-n2+n；

当n＞3时，|a1|+|a2|+…+|an|=-Sn+2S3=n2-n+24；

即Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|

=．

解析

解：设等差数列{an}的前n项和为Sn，

∵an=10-3n，∴数列的首项为a1=7，公差为d=-3，

∴a3=1＞0，a4=-2＜0；

∴该数列的前n项和为

Sn=na1+=7n-n（n-1）=-n2+n；

当n≤3时，|a1|+|a2|+…|an|=Sn=-n2+n；

当n＞3时，|a1|+|a2|+…+|an|=-Sn+2S3=n2-n+24；

即Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|

=．

题型：简答题

简答题

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，点2a5=a10，且S5=120．求an和Sn．

正确答案

解：设等差数列的首项为a1，公差为d，

则S5=5a1+d=120，

∴a1+2d=24；

又2（a1+4d）=a1+9d，

∴a1=d；

∴a1=8，d=8；

∴an=a1+（n-1）d=8n，

∴Sn===4n2+4n．

解析

解：设等差数列的首项为a1，公差为d，

则S5=5a1+d=120，

∴a1+2d=24；

又2（a1+4d）=a1+9d，

∴a1=d；

∴a1=8，d=8；

∴an=a1+（n-1）d=8n，

∴Sn===4n2+4n．

题型：简答题

简答题

已知{an}是一个差数列，且a1=3，a5=-5．

（1）求{an}的通项an．

（2）求{an}前n项和Sn的最大值．

正确答案

解：（1）由题意可得{an}的公差d==-2，

故{an}的通项an=3-2（n-1）=-2n+5

（2）由（1）可得Sn=3n+=-n2+4n

由二次函数的知识可知，当n=2时，Sn取到最大值4

解析

解：（1）由题意可得{an}的公差d==-2，

故{an}的通项an=3-2（n-1）=-2n+5

（2）由（1）可得Sn=3n+=-n2+4n

由二次函数的知识可知，当n=2时，Sn取到最大值4

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