热门试卷

证明：显然，a1=2

下面考虑an与an+1的关系．

奇数2k+1的最大奇数因子是2k+1；形如2k（k∈N）的数的最大奇数因子是1．．

由于1，2，3，，2n，，2n+1中各项的最大奇数因子之和为an+1，则an+1=1+3+5++（2n+1-1）+a‘n，其中a'n是数列2，4，6，，2n+1中各项最大奇数因子之和，它等于1，2，3，，2n中各项的最大奇数因子之和．所以有an+1=1+3+5+…+（2n+1-1）+an⇒an+1-an=4n．

因此，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）++（an-an-1）=，．

从而，．

故，．

解：（1）依题意，有，

即

由a3=12，得a1=12-2d③，

将③式分别代①、②式，得

∴＜d＜-3．

（2）由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13．

因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得an＞0，an+1＜0，

则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值．

⇒，

∴a6＞0，a7＜0，

故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．

解：（1）数列{an}中，a1=-60，an+1=an+4，

∴an+1-an=4，

∴数列{an}是公差为4的等差数列，

∴an=-60+4（n-1）=4n-64；

（2）令an=4n-64≥0，解得n≥16，

∴数列{an}的前15项为负数，第16项为0，从第17项开始为正值，

∴当n≤16时，数列{|an|}的前n项和为

Sn=-Tn=-=62n-2n2；

当n＞16时，Sn=Tn-2T16=（2n2-62n）-2（2×162-62×16）=2n2-62n+960；

∴Sn=．

解：由题知：a1=3，a2=5，a3=7，a4=9…，

可知每个雕塑的蝴蝶数构成3为首项2为构成的等差数列，

可得通项公式an=3+2（n-1）=2n+1，

代值可得a102=205，由2n+1=999可得n=499，

∴第102个雕塑有205只蝴蝶，由999只蝴蝶组成的雕塑是第499个

解：（Ⅰ）输出的数组成的集合为{1，3，5，7，9，11，13}；

数列{an}的通项公式为an=2n-1（n∈N*，且n≤7）．

（Ⅱ）将A框内的语句改为“a=2”即可．

（Ⅲ）将B框内的语句改为“a=a+3”即可．

解：（1）∵等差数列{an}满足a3=15，a10=1，

∴公差d==-=-2，

∴an=15-2（n-3）=-2n+21；

（2）由（1）可知a1=19，d=-2，

∴Sk=19k+×（-2）=-21，

解方程可得k=21，或k=-1（舍去）；

∴k=21；

（3）令an=-2n+21≥0，解得n≤，

∴递减的等差数列{an}前10项为正数，从第11项开始为负数，

∴数列的前10项和最大，S10=19×10+×（-2）=100．

解：（1）由题意，得a6=a1+5d=23+5d＞0，

a7=a1+6d=23+6d＜0，

∴-＜d＜-，

又d∈Z，

∴d=-4；

（2）前n项和Sn=23n+•（-4）＞0，

整理，得n（50-4n）＞0；

∴0＜n＜，

又∵n∈N*，

∴n的最大值为12．

解：（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-n2+2n-1-[-（n-1）2+2（n-1）-1]=-2n+3，

当n=1时，a1=S1=-1+2+1=2，不适合上式，

∴数列{an}的通项公式an=．

（2）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（An2+Bn+C）-[A（n-1）2+B（n-1）+C]

=（Aa2+Bn）-（An2-2An+A+Bn-B）=2An-A+B．

当n=1时，a1=S1=A+B+C，

则当C=0时，a1满足an=2An-A+B，此时数列{an}为等差数列．公差d-2A，

当C≠0时，a1不满足an=2An-A+B，此时数列{an}不为等差数列．

解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=2，a7=14，

∴2+6d=14，解得d=2．

∴an=2+2（n-1）=2n．

∴a12=24．

S5==30．