等差数列的前n项和_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在等差数列{an}中，a1=-9，S3=S7，则当前n项和Sn最小时，n=______．

正确答案

5

解析

解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=-9，S3=S7，

∴3×（-9）+d=7×（-9）+d，

解得d=2．

∴an=-9+2（n-1）=2n-11，

由an≤0，解得n≤5．

∴当前n项和Sn最小时，n=5．

故答案为：5．

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题型：简答题

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简答题

已知等差数列{an}中，a1=1，a3=5．

（1）求a2；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）求该数列的前n项和Sn．

正确答案

解：（1）由于等差数列{an}中，a1=1，a3=5．

则a2=（a1+a3）=（1+5）=3；

（2）设等差数列{an}的公差为d，

由a1=1，a3=5．解得d=2．

所以an=1+（n-1）×2=2n-1．

（3）由a1=1，an=2n-1得前n项和

=．

解析

解：（1）由于等差数列{an}中，a1=1，a3=5．

则a2=（a1+a3）=（1+5）=3；

（2）设等差数列{an}的公差为d，

由a1=1，a3=5．解得d=2．

所以an=1+（n-1）×2=2n-1．

（3）由a1=1，an=2n-1得前n项和

=．

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题型：简答题

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简答题

已知等差数列{an}中，a1=1，a3=5．

（1）求a2；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）求该数列的前n项和Sn．

正确答案

解：（1）由于等差数列{an}中，a1=1，a3=5．

则a2=（a1+a3）=（1+5）=3；

（2）设等差数列{an}的公差为d，

由a1=1，a3=5．解得d=2．

所以an=1+（n-1）×2=2n-1．

（3）由a1=1，an=2n-1得前n项和

=．

解析

解：（1）由于等差数列{an}中，a1=1，a3=5．

则a2=（a1+a3）=（1+5）=3；

（2）设等差数列{an}的公差为d，

由a1=1，a3=5．解得d=2．

所以an=1+（n-1）×2=2n-1．

（3）由a1=1，an=2n-1得前n项和

=．

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题型：简答题

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简答题

设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，S5=5

（Ⅰ）求通项an及Sn；

（Ⅱ）设{bn-2an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．

正确答案

解：（Ⅰ）由S5S6+15=0及S5=5，有S6=-3，

则，解得．

∴an=7+（n-1）（-3）=-3n+10，

；

（Ⅱ）∵{bn-2an}是首项为1，公比为3的等比数列，

∴，

又an=-3n+10，

∴，

∴Tn=b1+b2+…+bn=

=1+3+…+3n-1+2（a1+a2+…+an）==．

解析

解：（Ⅰ）由S5S6+15=0及S5=5，有S6=-3，

则，解得．

∴an=7+（n-1）（-3）=-3n+10，

；

（Ⅱ）∵{bn-2an}是首项为1，公比为3的等比数列，

∴，

又an=-3n+10，

∴，

∴Tn=b1+b2+…+bn=

=1+3+…+3n-1+2（a1+a2+…+an）==．

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题型：简答题

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简答题

设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项为25，且S9=S17，

求：（1）求公差d

（2）数列{an}的通项公式；

（3）求数列{an}前多少项和最大，并求其最大值．

正确答案

解：设公差为d

∵等差数列{an}的首项为25，且s9=s17

∴9a1+=

∴d=-2

（2）由（1）可知a1=25，d=-2

∴an=a1+（n-1）d=27-2n

（3）令an≥0，，

∴27-2n≥0

∴

∴数列{an}的前13项均为正从第14项开始全为负．

∴×（-2）=169

即数列{an}的前13项和最大且最大值为169

解析

解：设公差为d

∵等差数列{an}的首项为25，且s9=s17

∴9a1+=

∴d=-2

（2）由（1）可知a1=25，d=-2

∴an=a1+（n-1）d=27-2n

（3）令an≥0，，

∴27-2n≥0

∴

∴数列{an}的前13项均为正从第14项开始全为负．

∴×（-2）=169

即数列{an}的前13项和最大且最大值为169

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题型：简答题

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简答题

设数列{an}为等差数列，证明：．

正确答案

解：∵数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，

则Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n-3）d]+[a1+（n-2）d]+[a1+（n-1）d]

∴Sn=[a1+（n-1）d]+[a1+（n-2）d]+[a1+（n-3）d]+…+（a1+3d）+（a1+2d）+（a1+d）

两式相加，得2Sn=n[2a1+（n-1）d]，

∴Sn===，

∴．

解析

解：∵数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，

则Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n-3）d]+[a1+（n-2）d]+[a1+（n-1）d]

∴Sn=[a1+（n-1）d]+[a1+（n-2）d]+[a1+（n-3）d]+…+（a1+3d）+（a1+2d）+（a1+d）

两式相加，得2Sn=n[2a1+（n-1）d]，

∴Sn===，

∴．

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题型：填空题

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填空题

等差数列{an}中，a2=0，a4=2，则该数列的前9项和S9=______．

正确答案

27

解析

解：由题意可得公差为d==1，∴a1=a2-d=-1，

故该数列的前9项和S9=9a1+=27，

故答案为 27．

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}、{bn}都是等差数列，a1=-1，b1=-4，用Sk、Sk′分别表示数列{an}、{bn}的前k项和（k是正整数），

若Sk+Sk′=0，则ak+bk的值为______．

正确答案

5

解析

解：根据等差数列求和公式，得Sk=（a1+ak），

S=（b1+bk），

∵Sk+Sk′=0，

∴（a1+ak）+（b1+bk）=0，

∵，

∴a1+ak+b1+bk=0，

∵a1=-1，b1=-4，

∴ak+bk=-（a1+b1）=5．

故答案为：5．

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题型：简答题

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简答题

设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，S5=5

（Ⅰ）求通项an及Sn；

（Ⅱ）设{bn-2an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．

正确答案

解：（Ⅰ）由S5S6+15=0及S5=5，有S6=-3，

则，解得．

∴an=7+（n-1）（-3）=-3n+10，

；

（Ⅱ）∵{bn-2an}是首项为1，公比为3的等比数列，

∴，

又an=-3n+10，

∴，

∴Tn=b1+b2+…+bn=

=1+3+…+3n-1+2（a1+a2+…+an）==．

解析

解：（Ⅰ）由S5S6+15=0及S5=5，有S6=-3，

则，解得．

∴an=7+（n-1）（-3）=-3n+10，

；

（Ⅱ）∵{bn-2an}是首项为1，公比为3的等比数列，

∴，

又an=-3n+10，

∴，

∴Tn=b1+b2+…+bn=

=1+3+…+3n-1+2（a1+a2+…+an）==．

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题型：简答题

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简答题

已知等差数列{an}的前n项的和记为Sn．如果a4=-12，a8=-4．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求Sn的最小值及其相应的n的值．

正确答案

解：（1）设公差为d，由题意可得，

解得，

故可得an=a1+（n-1）d=2n-20

（2）由（1）可知数列{an}的通项公式an=2n-20，

令an=2n-20≥0，解得n≥10，

故数列{an}的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数，

故当n=9或n=10时，Sn取得最小值，

故S9=S10=10a1+=-180+90=-90

解析

解：（1）设公差为d，由题意可得，

解得，

故可得an=a1+（n-1）d=2n-20

（2）由（1）可知数列{an}的通项公式an=2n-20，

令an=2n-20≥0，解得n≥10，

故数列{an}的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数，

故当n=9或n=10时，Sn取得最小值，

故S9=S10=10a1+=-180+90=-90

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