- 等差数列的前n项和
- 共3762题
已知{an}为等差数列，且a3=-6，a6=0．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn；
（3）求使得Sn取最小值的序号n．
正确答案
解：（1）设等差数列{an}的公差d，
∵a3=-6，a6=0，
∴
解得a1=-10，d=2，
∴an=-10+（n-1）•2=2n-12；
（2）由（1）得
（3）由（2）得
∵n∈N*，∴当n为5或6时，Sn有最小值．
解析
解：（1）设等差数列{an}的公差d，
∵a3=-6，a6=0，
∴
解得a1=-10，d=2，
∴an=-10+（n-1）•2=2n-12；
（2）由（1）得
（3）由（2）得
∵n∈N*，∴当n为5或6时，Sn有最小值．
设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，a1+a2=3，a2+a3=6，若对任意n∈N*，求S9的值．
正确答案
解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1+a2=3，a2+a3=6，
∴2d=3，解得d=
∴S9=
解析
解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1+a2=3，a2+a3=6，
∴2d=3，解得d=
∴S9=
有穷数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，现从中抽取某一项（不包括首项和末项）后，余下项的平均值是79，则这个数列的项数是______．
正确答案
39
解析
解：由数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，可知此数列是等差数列，an=Sn-Sn-1=2n2+n-[2（n-1）2+n-1]=4n-1．
假设是抽取的第k项，（1＜k＜n），则
∴n=39．
故答案为39．
设数列{an}的通项公式为an=an+b（n∈N*，a＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．
（1）若a=2，b=-3，求b10；
（2）若a=2，b=-1，求数列{bm}的前2m项和公式；
（3）是否存在a和b，使得
正确答案
解：（1）由题意可得，an=an+b=2n-3，令an=2n-3≥10，可得n≥6.5，∴n=7，即b10=7．
（2）∵a=2，b=-1，∴an=an+b=2n-1，对于正整数，令an≥m，求得 n≥
根据bm的定义可知：当m=2k-1时，bm=k（k∈N*）；
当m=2k时，bm=k+1（k∈N*）．
∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+..b2m-1）+（b2+b4+..+b2m）
=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]=
（3）假设存在a和b满足条件，∵bm=3m+2（m∈N*），
根据bm的定义可知，an+b≥m，且a＞0，即 n≥
对于任意的正整数m，都有3m+1＜
当3a-1＞0（或3a-1＜0）时，可得 m＜-
当3a-1=0时，a=
综上，存在a和b，使得
解析
解：（1）由题意可得，an=an+b=2n-3，令an=2n-3≥10，可得n≥6.5，∴n=7，即b10=7．
（2）∵a=2，b=-1，∴an=an+b=2n-1，对于正整数，令an≥m，求得 n≥
根据bm的定义可知：当m=2k-1时，bm=k（k∈N*）；
当m=2k时，bm=k+1（k∈N*）．
∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+..b2m-1）+（b2+b4+..+b2m）
=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]=
（3）假设存在a和b满足条件，∵bm=3m+2（m∈N*），
根据bm的定义可知，an+b≥m，且a＞0，即 n≥
对于任意的正整数m，都有3m+1＜
当3a-1＞0（或3a-1＜0）时，可得 m＜-
当3a-1=0时，a=
综上，存在a和b，使得
等差数列{an}的前n项和为Sn，已知1≤S2≤2，3≤S4≤5，则S6的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：设等差数列{an}的公差为d，
可得Sn=na1+
∵1≤S2≤2，3≤S4≤5
∴1≤2a1+d≤2，3≤4a1+6d≤5，
∴-6≤-3（2a1+d）≤-3，
9≤3（4a1+6d）≤15
∴S6=6a1+15d=-3（2a1+d）+3（4a1+6d）∈[3，12]
故选：A．
设数列{an}是项数为20的等差数列，公差d∈N+，且关于x的方程x2+2dx-4=0的两个实根x1、x2满足x1＜1＜x2，则数列{an}的偶数项之和减去奇数项之和的结果为（ ）
正确答案
解析
解：设f（x）=x2+2dx-4，由x1＜1＜x2得到：
函数f（x）的图象与x轴的两交点坐标分别在1的两侧，注意此函数中的a＞0，抛物线开口向上，
则有f（1）＜0，即1+2d-4＜0，解得：d＜
又因为a2n-a2n-1=d，
所以（a20+a18+a16+…+a2）-（a19+a17+a15+…+a1）=（a20-a19）+（a18-a17）+…+（a2-a1）
=10d=10．
故选B
等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a17=10，则S19=（ ）
正确答案
解析
解：∵a3+a17=10，∴a1+a19=10，
∴
故选B．
已知{an}为等差数列，且a3=-6，a6=0．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn；
（3）求使得Sn取最小值的序号n．
正确答案
解：（1）设等差数列{an}的公差d，
∵a3=-6，a6=0，
∴
解得a1=-10，d=2，
∴an=-10+（n-1）•2=2n-12；
（2）由（1）得
（3）由（2）得
∵n∈N*，∴当n为5或6时，Sn有最小值．
解析
解：（1）设等差数列{an}的公差d，
∵a3=-6，a6=0，
∴
解得a1=-10，d=2，
∴an=-10+（n-1）•2=2n-12；
（2）由（1）得
（3）由（2）得
∵n∈N*，∴当n为5或6时，Sn有最小值．
已知数列{an}的前n项和
Aan=2n-3
Ban=2n+3
C
D
正确答案
解析
解：当n=1时，a1=S1=1-2+2=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-2n+2-[（n-1）2-2（n-1）+2]=2n-3．
∴an=
故选C．
设数列{an}的通项公式为an=an+b（n∈N*，a＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．
（1）若a=2，b=-3，求b10；
（2）若a=2，b=-1，求数列{bm}的前2m项和公式；
（3）是否存在a和b，使得
正确答案
解：（1）由题意可得，an=an+b=2n-3，令an=2n-3≥10，可得n≥6.5，∴n=7，即b10=7．
（2）∵a=2，b=-1，∴an=an+b=2n-1，对于正整数，令an≥m，求得 n≥
根据bm的定义可知：当m=2k-1时，bm=k（k∈N*）；
当m=2k时，bm=k+1（k∈N*）．
∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+..b2m-1）+（b2+b4+..+b2m）
=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]=
（3）假设存在a和b满足条件，∵bm=3m+2（m∈N*），
根据bm的定义可知，an+b≥m，且a＞0，即 n≥
对于任意的正整数m，都有3m+1＜
当3a-1＞0（或3a-1＜0）时，可得 m＜-
当3a-1=0时，a=
综上，存在a和b，使得
解析
解：（1）由题意可得，an=an+b=2n-3，令an=2n-3≥10，可得n≥6.5，∴n=7，即b10=7．
（2）∵a=2，b=-1，∴an=an+b=2n-1，对于正整数，令an≥m，求得 n≥
根据bm的定义可知：当m=2k-1时，bm=k（k∈N*）；
当m=2k时，bm=k+1（k∈N*）．
∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+..b2m-1）+（b2+b4+..+b2m）
=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]=
（3）假设存在a和b满足条件，∵bm=3m+2（m∈N*），
根据bm的定义可知，an+b≥m，且a＞0，即 n≥
对于任意的正整数m，都有3m+1＜
当3a-1＞0（或3a-1＜0）时，可得 m＜-
当3a-1=0时，a=
综上，存在a和b，使得
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