- 等差数列的前n项和
- 共3762题
已知数列{an}是等差数列，且a23=49，a32=67．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）该数列在20至50之间共有多少项？求出这些项的和．
正确答案
解：（Ⅰ） 设等差数列的公差为d，∵a32-a23 =9d=67-49=18，∴d=2，
∴an=a23+（n-23）d=49+2n-46=2n+3，
故数列{an}的通项公式an=2n+3．
（Ⅱ） 令 20≤2n+3≤50，可得 8.5≤n≤23.5，
又n为自然数，故9≤n≤23，共有15个，
a9=21，a23=49，这些项的和为 
解析
解：（Ⅰ） 设等差数列的公差为d，∵a32-a23 =9d=67-49=18，∴d=2，
∴an=a23+（n-23）d=49+2n-46=2n+3，
故数列{an}的通项公式an=2n+3．
（Ⅱ） 令 20≤2n+3≤50，可得 8.5≤n≤23.5，
又n为自然数，故9≤n≤23，共有15个，
a9=21，a23=49，这些项的和为
设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为______．
正确答案
4
解析
解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，
∴
即
∴
∴
∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，
故答案为：4．
已知{an}是等差数列，且a1=1，a1+a2+a3=6，令bn=an•2n，求{bn}的前n项的和Tn．
正确答案
解：∵{an}是等差数列，且a1=1，a1+a2+a3=6，
∴
解得a1=1，d=1，
∴an=1+（n-1）×1=n，
则bn=an•2n，
∴Tn=1•2+2•22+…+n•2n，①
2Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1，②
②-①，得：
Tn=-2-22-…-2n+n•2n+1
=-
=（n-1）•2n+1+2．
解析
解：∵{an}是等差数列，且a1=1，a1+a2+a3=6，
∴
解得a1=1，d=1，
∴an=1+（n-1）×1=n，
则bn=an•2n，
∴Tn=1•2+2•22+…+n•2n，①
2Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1，②
②-①，得：
Tn=-2-22-…-2n+n•2n+1
=-
=（n-1）•2n+1+2．
在等差数列{an}中，已知a1=13，3a2=11a6，求
（1）该数列{an}的通项公式an；
（2）该数列{an}的前n项和Sn．
正确答案
解：设公差为d，由3a2=11a6，得
3（a1+d）=11（a1+5d）
又∵a1=13
∴d=-2
∴an=a1+（n-1）d=-2n+15
∴sn=13n-n（n-1）=-n2+14
解析
解：设公差为d，由3a2=11a6，得
3（a1+d）=11（a1+5d）
又∵a1=13
∴d=-2
∴an=a1+（n-1）d=-2n+15
∴sn=13n-n（n-1）=-n2+14
数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．
（1）求a2，a3；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn．
正确答案
解：（1）∵a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．
∴a2=2a1+1=3，
a3=2（a1+a2）+1=9…（4分）
（2）an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1，
两式相减得an+1=3an（n≥2），
又a2=2S1+1=2a1+1=3=3a1，
∴
∴{an}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，
∴an=3n-1…（8分）
（3）等差数列{bn}中，设首项为b1，公差为d，
由T3=15得：3b1+3d=15，
由a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列得：（3+b1+d）2=（1+b1）（9+b1+2d）
解之得
∴Tn=-5n2+20n …（14分）
解析
解：（1）∵a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．
∴a2=2a1+1=3，
a3=2（a1+a2）+1=9…（4分）
（2）an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1，
两式相减得an+1=3an（n≥2），
又a2=2S1+1=2a1+1=3=3a1，
∴
∴{an}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，
∴an=3n-1…（8分）
（3）等差数列{bn}中，设首项为b1，公差为d，
由T3=15得：3b1+3d=15，
由a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列得：（3+b1+d）2=（1+b1）（9+b1+2d）
解之得
∴Tn=-5n2+20n …（14分）
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d（a1∈Z，d∈Z），前n项的和为Sn，且S7=49，24＜S5＜26．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列
正确答案
解：（1）由题意可得
∴an=a1+（n-1）d=2n-1．
（2）∴
∴
=
解析
解：（1）由题意可得
∴an=a1+（n-1）d=2n-1．
（2）∴
∴
=
已知等差数列{an}的前3项和为3，前6项和为24．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设
正确答案
解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意可知：
故an=-1+2（n-1）=2n-3；
（2）由（1）得：bn=
所以数列{bn}是以b1=2为首项，公比q=
则Tn=
又Tn+1-Tn=
因此Tn单调递增，
故Tn的最小值为T1=b1=2，由2＞k及k∈N+，得kmax=1．
解析
解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意可知：
故an=-1+2（n-1）=2n-3；
（2）由（1）得：bn=
所以数列{bn}是以b1=2为首项，公比q=
则Tn=
又Tn+1-Tn=
因此Tn单调递增，
故Tn的最小值为T1=b1=2，由2＞k及k∈N+，得kmax=1．
设数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，已知a1=1，d=2
（1）求
（2）求证：
正确答案
解：（1）由题意可得Sn=na1+
故
当且仅当n=
故
（2）由（1）可知
故
=
=
解析
解：（1）由题意可得Sn=na1+
故
当且仅当n=
故
（2）由（1）可知
故
=
=
设等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为S′n，若
正确答案
解：由等差数列的求和公式和等差数列的性质可得：
=
故答案为：
解析
解：由等差数列的求和公式和等差数列的性质可得：
=
故答案为：
已知等差数列{an}中，a1=-29，S10=S20．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）问数列前多少项之和最小；并求出最小值．
正确答案
解：（1）设等差数列{an}的公差是d，
由a1=-29，S10=S20得，10×（-29）+
解得d=2，
∴an=-29+2（n-1）=2n-31；
（2）由（1）得，Sn=-29n+
∴当n=15时，前n项之和最小，且（Sn）min=-225．
解析
解：（1）设等差数列{an}的公差是d，
由a1=-29，S10=S20得，10×（-29）+
解得d=2，
∴an=-29+2（n-1）=2n-31；
（2）由（1）得，Sn=-29n+
∴当n=15时，前n项之和最小，且（Sn）min=-225．
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