- 用牛顿运动定律解决问题（一）
- 共673题
中央电视台近期推出了一个游戏节目——推矿泉水瓶，选手们从起点开始用力推瓶一段时间后，放手让瓶向前滑动，若瓶最后停在桌上有效区域内，视为成功；若瓶最后不停在桌上有效区域内或在滑行过程中倒下，均视为失败，其简化模型如图所示，AC是长度为L1=5 m的水平桌面，选手们可将瓶子放在A点，从A点开始用一恒定不变的水平推力推瓶，BC为有效区域。已知BC长度为L2=1m，瓶子质量为m=0.5g，瓶子与桌面间的动摩擦因数μ=0.4，某选手作用在瓶子上的水平推力F=20N，瓶子沿AC做直线运动（g取10m/s2），假设瓶子可视为质点，那么该选手要想游戏获得成功，试问：
(1)推力作用在瓶子上的时间最长不得超过多少？
(2)推力作用在瓶子上的距离最小为多少？
正确答案
解：(1)要想游戏获得成功，瓶滑到C点速度正好为零，力作用时间最长，设最长作用时间为t1，有力作用时瓶做匀加速运动，设加速度为a1，t1时刻瓶的速度为v，力停止作用后瓶做匀减速运动，设此时加速度大小为a2，由牛顿第二定律得
F-μmg=ma1 ①
μmg=ma2 ②
加速运动过程中的位移
减速运动过程中的位移
位移关系满足x1+x2=L1 ⑤
又v=a1t1 ⑥
由以上各式解得
(2)要想游戏获得成功，瓶滑到B点速度正好为零，力作用距离最小，设最小距离为d，则
v'2=2a1d ⑧
联立解得d=0.4 m
如图所示，在光滑的水平面上停放着小车B，车上左端有一小滑块A，A和B之间的接触面前一段光滑，后一段粗糙，且后一段的动摩擦因数μ＝0.4，小车长L＝2 m，A的质量mA＝1 kg，B的质量mB＝4 kg，现用12 N的水平力F向左拉动小车，当A到达B的最右端时，两者速度恰好相等，求A和B间光滑部分的长度。(g取10 m/s2)
正确答案
解：小车B从开始运动到物体A刚进入小车B的粗糙部分过程中，因物体A在小车B的光滑部分不受摩擦力作用，故物体A处于静止状态，设小车B此过程中的加速度为a1，运动时间为t1，通过的位移为x1，运动的速度为v1。则有
a1＝
当物体A进入到小车B的粗糙部分后，设小车B的加速度为a2，物体A的加速度为a3，两者达到相同的速度经历的时间为t2，且共同速度v2＝a3t2，则有
a2＝
综合以上各式并代入数据可得A和B间光滑部分的长度x1＝0.8 m
电动车被认为是新型节能环保的交通工具。在检测某款电动车性能的某次实验中，质量为8×102 kg的电动车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为15m/s。利用传感器测得此过程中不同时刻电动车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出F-
（1）根据图象定性描述汽车的运动过程；
（2）求电动车的额定功率；
（3）电动车由静止开始运动，经过多长时间，速度达到2m/s？
正确答案
解：（1）分析图线可知：电动车由静止开始做匀加速直线运动，达到额定功率后，做牵引力（加速度）逐渐减小的变加速直线运动，最终达到最大速度（注意：图象从右向左看速度逐渐增大）
（2）当最大速度vmax=15m/s时，牵引力为Fmin=400N，故恒定阻力f=Fmin=400N
额定功率P=Fminvmax=6kW
（3）匀加速运动的末速度
代入数据解得v=3m/s
匀加速运动的加速度
代入数据解得
电动车在速度达到3m/s之前，一直做匀加速直线运动
故所求时间为
将v′=2m/s代入上式解得t=1s
“引体向上运动”是同学们经常做的一项健身运动。如图所示，质量为m的某同学两手正握单杠，开始时，手臂完全伸直，身体呈自然悬垂状态，此时他的下鄂距单杠面的高度为H，然后他用恒力F向上拉，下领必须超过单杠面方可视为合格。已知H=0.6m，m=60kg，重力加速度g=10m/s2。不计空气阻力，不考虑因手臂弯曲而引起人的重心位置的变化。
（1）第一次上拉时，该同学持续用力，经过t=1s时间，下鄂到达单杠面，求该恒力F的大小及此时他的速度大小；
（2）第二次上拉时，用恒力F'=720N拉至某位置时，他不再用力，而是依靠惯性继续向上运动，为保证此次引体向上合格，恒力F的作用时间至少为多少？
正确答案
解：（1）第一次上拉时，该同学向上做匀加速运动，设他上升的加速度大小为a1，下鄂到达单杠面时的速度大小为v，由牛顿第二定律及运动学公式可得：
F－mg=ma1H=1/2a1t2v=a1t
联立上式可得：F=672N，v=1.2m/s
（2）第二次上拉时，设上拉时的加速度为a2，恒力至少作用时间为tmin，上升的位移为x1，速度为v1，自由上升时位移为x2，根据题意可得：
F'－mg=ma2x1+x2=H
x1=1/2a2tmin2v12=2gx2v1=a2tmin联立以上各式得：tmin=0.71s
质量为200kg的物体，置于升降机内的台秤上。升降机从静止开始上升，运动过程中台秤的示数F与时间t的关系如图所示，求升降机在7s钟内上升的高度。（g=10m/s2）
正确答案
解：物体所受的重车G=mg=2000N
0-2s内，物体匀加速上升
加速度
上升的位移
2s-5s内，物体匀速上升
速度
位移
5s-7s内，物体匀减速上升
加速度大小
位移
所以7s内的位移
如图所示，在水平地面上固定一个绝缘、粗糙的足够长的水平轨道，水平轨道处于电场强度大小为E、方向水平向左的匀强电场中。水平轨道左端固定一个与水平面垂直的挡板，一质量为m、带电量为q（q>0）的滑块从距离挡板为x0处以初速度v0水平向左运动，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小为F（F>qE）。设滑块与挡板碰撞过程没有机械能损失，且电量保持不变，重力加速度大小为g，求：
（1）滑块在水平轨道上向左运动时的加速度大小和方向；
（2）滑块停止运动前可能通过的总路程x。
正确答案
解：（1）
（2）
如图所示，一儿童玩具静止在水平地面上，一个幼儿用与水平面成53°角的恒力拉着它沿水平面做直线运动，已知拉力F=3.0 N，玩具的质量m=0.5 kg，经时间t=2.0 s，玩具移动了s=4 m，这时幼儿松开手，问玩具还能运动多远？(取g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6)
正确答案
解：幼儿拉玩具时：s=
Fcosθ-μFN=ma
mg-Fsinθ=FN
2秒末玩具的速度：v=at
μ=
撤去拉力后：Ff′=μmg
-Ff′s′=0-
s′=2.6 m
幼儿松开手，玩具还能运动2.6 m
如图所示，在倾角θ=37°的足够长的固定的斜面底端有一质量m=1.0 kg的物体，物体与斜面间动摩擦因数μ=0.25。现用轻细绳将物体由静止沿斜面向上拉动，拉力F=10.0 N，方向平行斜面向上。经时间t=4.0 s绳子突然断了，求：
（1）绳断时物体的速度大小。
（2）从绳子断了开始到物体再返回到斜面底端的运动时间。（sin37°=0.60，cos37°=0.80，g=10 m/s2）
正确答案
解：（1）物体受拉力向上加速运动过程，则有
F－mgsinθ－f=ma1
FN－mgcosθ=0
且f=μFN由以上三式代数解得：a1=2.0 m/s2
所以t=4.0 s时物体的速度大小为v1=a1t=8.0 m/s
（2）绳断时物体距斜面底端的位移
绳断后物体沿斜面向上做匀减速直线运动，则有mgsinθ+μmgcosθ=ma2
解得a2=8.0 m/s2 物体做减速运动的时间t2=v1/a2=1.0 s
减速运动的位移s2=v1t2/2=4.0 m
此后物体将沿斜面匀加速下滑，则有mgsinθ－μmgcosθ=ma3
解得a3=4.0 m/s2
设物体由最高点到斜面底端的时间为t3，则有s1+s2=
解得t3=
所以物体返回到斜面底端的时间为t总=t2+t3=4.2 s
如图所示，绝缘长方体B置于水平面上，两端固定一对平行带电极板，极板间形成匀强电场E长方体B的上表面光滑，下表面与水平面的动摩擦因数μ= 0. 05（设最大静摩擦力与滑动摩擦力相同）B与极板的总质量mB=1.0kg。带正电的小滑块A质量mA=0.60 kg，其受到的电场力大小F=1.2 N。假设A所带的电量不影响极板间的电场分布t=0时刻，小滑块A从B表面上的a点以相对地面的速度vA=1.6m/s向左运动，同时，B（连同极板）以相对地面的速度vB= 0. 40m/s向右运动问（g取10m/s2）
（1）A和B刚开始运动时的加速度大小分别为多少？
（2）若A最远能到达b点，a、b的距离L应为多少？从t=0时刻至A运动到b点时，摩擦力对B做的功为多少？
正确答案
解：（1）以向右运动为正方向，初始时刻。A、B受力情况如图所示，
其中F与F'互为作用力与反作用力，大小相等F=F'，
B受到的摩擦力大小为ff=(mA+mB)gμ=0.8N ①
设A、B的加速度分别为aA和aB②
③
（2）由加速度和初速度的值，可以判定B的速度首先达到零
B速度为零时所用的时间
此时B的位移
t1时刻后，B物体的受力分析如图，
由于F' >f，B将向左运动
设t1时刻后B的加速度为aB'
设t时刻A和B的速度分别为vA'、vB'
vA'=-vA+aAt ⑦
vBˊ=aB'(t-t1)(t>t1) ⑧
设t2时刻A、B速度相等，联立⑦⑧，得t2=0.70s ⑨
设从t1到t2时刻B的位移
A从初始时刻到t2时刻的位移
由题意L=SB +SB'-SA=0.62m
设摩擦力做的功为W
W= -(mA+mB)gμ(|SB|+|SB＇|)
W= -0.072J
第2问解法2
（2）vB
此时B物体受到A物体对它的向左的作用力F
由于F＞μ(mA+mB)g，故A物体向左运动，
由牛顿第二定律F-μ(mA+mB)g=mBaB＇，
得aB＇=0.4m/s2，方向向右
A物体向左匀减速，B物体向左匀加速，当A、B达到共同速度时，A到达最远点b
设B物体向左运动t时间达到共同速度v，则有v=aB＇t=vA-aA(t十tB)
得t=0.5s，v=0.2m/s 以向左为正方向，A、B物体的v-t图像：
由图像可知
如图所示，一轻绳绕过两轻质滑轮，两端分别连接着矩形导线框A1和石块A2，线框A1的ab边长l1＝1 m，bc边长l2＝0.6 m，电阻R＝0.1 Ω，质量m＝0.5 kg，石块A2的质量M＝2 kg，两水平平行虚线ef、gh之间存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T，如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的，ef和gh的距离s>l2（取g＝10 m/s2）。问：
（1）线框进入磁场前石块A2的加速度a为多大？
（2）线框进入磁场时匀速运动的速度v为多大？
（3）线框完全进入磁场后，ab边继续运动到gh线的过程中，其运动性质如何？
正确答案
解：（1）线框进入磁场前，线框A1仅受到细线的拉力FT和重力mg，石块A2受到重力Mg和拉力FT。由牛顿第二定律
对线框：FT－mg＝ma
对石块：Mg－FT＝Ma
联立解得：a＝
线框abcd受力平衡FT′＝mg＋FA
ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势E＝Bl1v
形成的感应电流I＝
受到的安培力FA＝BIl1
联立上述各式得：Mg＝mg＋
代入数据解得v＝6 m/s
（3）线框完全进入磁场后到ab边运动至gh线，线框中无感应电流，受力情况同进入磁场前，所以该阶段仍做匀加速直线运动，加速度仍为a＝6 m/s2
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