- 用牛顿运动定律解决问题（一）
- 共673题
AB是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，在下端B与水平直轨平滑相切，如图所示。一小木块自A点起由静止开始沿轨道下滑，最后停在C点。已知圆轨道半径为R，小木块的质量为m，小木块运动到B点时的速度为
（1）小木块经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力NB、NC各是多大？
（2）B、C两点之间的距离x是多大？
正确答案
解：（1）
NC=mg
（2）
如图所示，传送带与水平面的夹角为θ＝37°，以4m/s的速度向上运行，在传送带的底端A处无初速度地放一个质量为0.5kg的物体，它与传送带间动摩擦因数μ＝0.8，AB间（B为顶端）长度为25m。试回答下列问题：
（1）说明物体的运动性质。（相对地球）
（2）物体从A到B的时间为多少？（g＝10m/s2）
正确答案
解：（1）由题设条件知tan37°＝0.75，μ＝0.8，所以有tan37°<μ，这说明物体在斜面（传送带）上能处于静止状态，物体开始无初速度放在传送带上，起初阶段：对物体受力分析如图所示。
根据牛顿第二定律可知：F滑－mgsin37°＝ma，F滑＝μFN，FN＝mgcos37°
求解得a＝g（μcos37°－sin37°）＝0.4m/s2
设物体在传送带上做匀加速直线运动时间t1及位移x1，因v0＝0，a＝0.4m/s2，vt＝4m/s
根据匀变速直线运动规律得：vt＝at1，x1＝
说明物体将继续跟随传送带一起向上匀速运动
物体在第二阶段匀速运动时间t2＝
所以物体运动性质为：物体起初由静止起以a＝0.4m/s2做匀加速直线运动，达到传送带速度后，便以传送带速度做匀速运动。
（2）物体运动总时间t总＝t1＋t2＝11.25s
如图所示，甲为操场上一质量不计的竖直滑竿，滑竿上端固定，下端悬空，为了研究学生沿竿下滑的情况，在竿的顶部装有一拉力传感器，可显示竿的顶端所受拉力的大小。现有一学生手握滑竿，从竿的上端由静止开始下滑，下滑5s后这个学生的下滑速度为零，并用手紧握住滑竿保持静止不动。以这个学生开始下滑时刻为计时起点，传感器显示的力随时间变化的情况如图乙所示。求：
（1）该学生下滑过程中的最大速度；
（2）5s内该学生下滑的距离。
正确答案
解：（1）因为杆顶端所受拉力大小与杆对这名学生拉力的大小相等，所以传感器显示的力大小即为杆对这名学生的拉力
由图像可知，0~1s内，杆对学生的拉力F1=380N；第5s后，杆内学生的拉力F3=500N，此时学生处于静止状态。设学生在0~1s内的加速度为a，取向下为正方向，由牛顿第二定律知
在0~1s内：
第5s后：
由①②可解得：a=2.4m/s2
可知，这名学生在下滑的第1秒内做匀加速直线运动。而由图像可知，第1~5s内，杆对学生的拉力F2>mg，加速度方向竖直向上，学生做匀减速直线运动，所以
第1s末，这名学生达到最大速度
（2）设这名学生第1s内加速下滑的距离为x1，第1~5s内减速下滑的距离为x2，则有
所以5s内该学生下滑的距离
如图甲所示，质量m=10 kg的物块，在一倾角为θ=37°的足够长的斜面底端，受到一个方向沿斜面向上、 大小为100 N的力F作用，由静止开始运动，2s内通过的位移为4m，2s末撤去力F。（sin37°=0.6，cos37°= 0.8，g取10 m/s2，规定沿斜面向上方向为正方向）
(1)求物块与斜面间的动摩擦因数；
(2)试在图乙中画出物块从静止开始运动3s内的v-t 图象；
(3)求撤去力F后1s末物块的位置离斜面底端的距离。
正确答案
解：(1)设力F作用时物体的加速度为a1，则
由牛顿第二定律得：F-mgsinθ-μmgcosθ=ma1
联立上几式并代入相关数据可求得μ=0.25
(2) 设撤去力F的瞬间物体的速度为v1，则v1=a1t1=4 m/s
设撤去力F以后，物体沿斜面减速上滑的加速度为a2，依牛顿第二定律有
mgsinθ+μmgcosθ=ma2，得a2=8 m/s2
设从撤去力F至达最高点历时t2，由v=at，得
设物体达最高点后沿斜面加速下滑的加速度为a3，则由
mgsinθ-μmgcosθ=ma3，得a3=4 m/s2加速下滑时间t3=t-t2=0.5 s
故撤销力F后1s末物体的速度为v=a3t3=2 m/s，方向沿斜面向下，v-t图象如图所示
(3)从撤去力F至达最高点，物体的位移
物体达最高点后沿斜面加速下滑0.5 s位移为x3
从撤去力F开始1秒末物体的位置离斜面底部距离x1+x2-x3=4.5 m
在消防演习中，消防队员从一根竖直的长直轻绳上由静止滑下，经一段时间落地。为了获得演习中的一些数据，以提高训练质量，研究人员在轻绳上端安装了一个力传感器并与数据处理系统相连接，用来记录消防队员下滑过程中轻绳受到的拉力与消防队员重力的比值随时间变化的情况。已知某队员在一次演习中的数据如图所示。问：该消防队员在下滑过程中的最大速度和落地速度各是多少？（g取10 m/s2）
正确答案
解：由题图可知，该队员先在t1=1s内以加速度a1匀加速下滑，然后在t2=1.5 s内以加速度a2匀减速下滑
在前1 s内，由牛顿第二定律得：mg-F1=ma1
所以
最大速度vm=a1t1，代入数据得：vm=4 m/s
在后1.5s内，由牛顿第二定律得：F2-mg=ma2，得a2=
消防队员落地时的速度：v=vm-a2t2，代入数据得：v=1m/s
如图所示，在倾角为θ=37°的足够长的固定斜面底端，有一质量m=1.0 kg的物体，物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.25。现用轻细绳将物体由静止沿斜面向上拉动，拉力F=10.0 N。经时间t=4.0 s绳子突然断了，求：
（1）绳断时物体的速度大小。
（2）从绳子断了开始到物体再返回斜面底端的运动时间。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10 m/s2）
正确答案
解：（1）物体向上运动过程中，受拉力F、重力G和摩擦力f的作用，设物体向上运动的加速度为a1，根据牛顿第二定律有：F-mgsinθ-f=ma1又f=μmgcosθ
解得a1=2.0 m/s2所以t=4.0 s时物体的速度大小为：v1=a1t=8.0 m/s
（2）绳断时物体在斜面上的位移：
绳断后物体沿斜面向上做匀减速直线运动，设运动的加速度大小为a2，则根据牛顿第二定律，对物体沿斜面向上运动的过程有：mgsinθ十μmgcosθ=ma2解得a2=8.0 m/s2物体做减速运动的时间
减速运动的位移x2=
此后物体将沿斜面匀加速下滑，设物体下滑的加速度为a3，根据牛顿第二定律，对物体加速下滑的过程有：mgsinθ-μmgcosθ=ma3解得a3=4.0 m/s2设物体由最高点到斜面底端的时间为t3，物体向下匀加速运动的位移：
解得
所以从绳断后开始物体返回斜面底端所用的时间为：t总=t2+t3=4.2 s
如图所示，一个滑雪运动员，滑板和人总质量为m＝75kg，以初速度v0＝8m/s沿倾角为θ＝37°的斜坡向上自由滑行，已知滑板与斜坡间动摩擦因数μ＝0.25，假设斜坡足够长，不计空气阻力。试求：
（1）运动员沿斜坡上滑的最大距离；
（2）若运动员滑至最高点后掉转方向向下自由滑行，求他滑到起点时的速度大小。
正确答案
解：（1）上滑过程中，对人进行受力分析，滑雪者受重力mg、弹力FN、摩擦力f，并设滑雪者加速度为
a1
mgsinθ＋f＝ma1，a1方向沿斜面向下①
由平衡关系有：FN＝mgcosθ②
根据动摩擦定律有：f＝μFN③
由上列各式解得：a1＝g（sinθ＋μcosθ）＝8m/s2④
滑雪者沿斜面向上做匀减速直线运动，减速到为零时的位移x＝
即滑雪者上滑的最大距离为4m
（2）滑雪者沿斜面下滑时，滑雪者受到斜面的摩擦力沿斜面向上，设加速度大小为a2
根据牛顿第二定律有：mgsinθ－f＝ma2，a2方向沿斜面向下⑥
由平衡关系有：FN＝mgcosθ⑦
根据动摩擦定律有：f＝μFN⑧
由上列各式解得：a2＝g（sinθ－μcosθ）＝4m/s2⑨
滑雪者沿斜面向下做初速度为零的匀加速直线运动，滑到出发点的位移大小为x＝4m
则滑雪者再次滑到出发点时速度大小：v＝
在如图甲所示的空间里，存在垂直纸面向里即水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
（1）第2s末小球速度υ2的大小；
（2）前8s内小球通过的路程L；
（3）若第19s末小球仍未离开斜面，θ角应满足的条件。
正确答案
解：（1）第一秒内小球受到竖直向下的重力mg和电场力qE0作用，在斜面上以加速度a做匀加速运动。
由牛顿第二定律得 (mg+qE0)sinθ=ma
第一秒末小球的速度 υ1=at1=2gsinθ
第二秒内电场力反向，且满足qE0=mg
第二秒内小球受到洛伦兹力作用将离开斜面以υ1做半径为R2的匀速圆周运动。
由向心力公式得
小球做匀速圆周运动周期
结合题图可知，小球在奇数秒内沿斜面做匀加速运动，
在偶数秒内离开斜面恰好做完整的圆周运动，小球运动轨迹如图所示。
小球第2s末的速度υ2=υ1=at2=2gsinθ
（2）第3s末小球速度υ3=a(t1+t3)=4gsinθ
第5s末速度υ5=a(t1+t3+t5)=6gsinθ
第7s末速度υ7=a(t1+t3+t5+t7)=8gsinθ
第2s内小球做圆周运动的半径
第4s内小球做圆周运动的半径
第6s内小球做圆周运动的半径
第8s内小球做圆周运动的半径
第1s内小球做匀加速直线运动的路程
第2s内小球做匀速圆周运动的路程s2=2πR2=2gsinθ
0～8s内小球做匀加速直线运动的总路程L1=s1+3s1+5s1+7s1=16s1=16gsinθ
0～8s内小球做匀速圆周运动的总路程L2=s2+s4+s6+s8=s2+2s2+3s2+4s2=10s2=20gsinθ
前8s内小球通过的路程L=L1+L2=36gsinθ
（3）第19s末仍在斜面上，则有υ19=a(t1+t3+t5+t7+t9+t11+t13+t15+t17+t19)=10a=20gsinθ
且19s末小球所受洛伦兹力Bqυ19、重力mg和电场力qE0作用，应满足 Bqυ19≤(mg+qE0)cosθ
解得
如图所示，水平面上放有质量均为m＝1 kg的物块A和B，A、B与地面的动摩擦因数分别为μ1＝0.4和μ2＝0.1，相距l＝0.75 m。现给物块A一初速度使之向B运动，与此同时给物块B一个F＝3 N水平向右的力由静止开始运动，经过一段时间A恰好追上B。g＝10 m/s2。求：
(1)物块B运动的加速度大小；
(2)物块A初速度大小；
(3)从开始到物块A追上物块B的过程中，力F对物块B所做的功。
正确答案
(1)2 m/s2
(2)3 m/s
(3)0.75 J
一个质量m=1 kg的物体静止在光滑水平地面上的A点，从t=0开始，物体受到一个大小不变、方向呈周期性变化沿AB方向的水平力F作用，取由A指向B为力的正方向，力F随时间的变化规律如图(a)所示。已知F0=7.2 N，T=1 s，AB间距s=1.5 m。则：
（1）在t=0至t=T期间，该物体从运动开始经过多长时间速度第一次达到最大，最大速度为多少？此时物体的位移为多少？
（2）请在如图(b)的坐标系中绘出该物体在t=0至t=4T/3期间的v-t图像；
（3）在该物体从A运动到B的过程中，力F对物体做功多少？
正确答案
解：（1）
当物体运动
（2）
（3）如下图，物体在t=0至t=2T/3期间，运动的位移为s1=0.8 m
物体在t=2T/3至t=T期间运动的位移大小为s2=0.2 m
物体在t=0至t=T期间运动的位移s3=s1-s2=0.6 m
根据物体运动的周期性物体在t=0至t=2T期间运动的位移s4=2s3=1.2 m，物体还有0.3 m的距离，根据vt2=2as''，得
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