- 用牛顿运动定律解决问题（一）
- 共673题
跳台滑雪是一种极为壮观的运动，运动员穿着滑雪板，从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，如图所示。设运动员连同滑雪板的总质量m＝50kg，从倾角θ＝37°的坡顶A点以速度v0＝20 m/s沿水平方向飞出，恰落到山坡底的水平面上的B处。（g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.81）求：
（1）运动员在空中飞行的时间；
（2）AB间的距离s；
（3）运动员落到水平面上的B处时顺势屈腿以缓冲，使他垂直于水平面的分速度在Δt＝0.20 s的时间内减小为零。试求缓冲过程中滑雪板对水平面的平均压力。
正确答案
（1）3 s
（2）75 m
（3）8×103 N
如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，圆弧轨道上端A点距地面高度为H，质量为m的小球从A点静止释放（球达B点水平速度大小等于球由O点自由释放至B点速度大小），最后落在地面C处，不计空气阻力，（g=10 m/s2）求：
（1）小球刚运动到B点时，对轨道的压力多大；
（2）小球落地点C与B的水平距离s为多少。
正确答案
解：（1）小球达B点速度可按自由落体高度R计算有VB＝
在B点应用牛二定律有：N- mg ＝mVB2/R
联解得： N=3mg
由牛三定律：
（2）小球做平抛运动，运动时间t=
运动水平距离：
航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器，其质量m=2 kg，动力系统提供的恒定升力F=28 N。试飞时，飞行器从地面由静止开始竖直上升。设飞行器飞行时所受的阻力大小不变，g取10 m/s2。
(1)第一次试飞，飞行器飞行t1=8 s时到达高度H=64 m，求飞行器所受阻力f的大小；
(2)第二次试飞，飞行器飞行t2=6 s时遥控器出现故障，飞行器立即失去升力，求飞行器能达到的最大高度h；
(3)为了使飞行器不致坠落到地面，求飞行器从开始下落到恢复升力的最长时间t3。
正确答案
解：(1)第一次飞行中，设加速度为a1
匀加速运动H=
由牛顿第二定律F-mg-f=ma1
解得f=4 N
(2)第二次飞行中，设失去升力时的速度为v1，上升的高度为s1
匀加速运动s1=
设失去升力后加速度为a2，上升的高度为s2
由牛顿第二定律mg+f=ma2
v1=a1t2
s2=
解得h=s1+s2=42 m
(3)设失去升力下降阶段加速度为a3；恢复升力后加速度为a4，恢复升力时速度为v3
由牛顿第二定律mg-f=ma3，F+f-mg=ma4
且
解得t3=
如图所示，水平地面上有一质量m=11.5 kg的物块，在F1=57.5 N的水平力作用下，由静止开始运动，经t=4 s时的位移x=24 m。
（1）求物块与地面之间的动摩擦因数μ；
（2）如果从A点起，物块在斜向上、与水平方向成37°角、大小为75 N的拉力F2作用下运动，作用一段时间后撤去F2，要使物块能到达B点，F2作用的最短时间是多少？（g取10 m/s2）
正确答案
解：（1）由运动学公式得
由牛顿第二定律有：F1-μmg=ma
解得：
（2）当物块受F2作用时，由牛顿第二定律有：
加速度
撤去F2后：μmg=ma2，a2=μg=2 m/s2若要求外力作用时间最短，且到达B点，则到B点时速度为零。设F2最短作用时间为tmin撤去F2时，物块速度为v'=a1tmin则
物体受水平拉力F的作用下，在水平地面上由静止开始运动，10 s后拉力大小减为F/3，该物体的运动速度随时间t的变化规律如图所示，已知该物体质量为2 kg，求：
（1）物体受到的拉力F的大小；
（2）物体与地面之间的动摩擦因数。（g取10 m/s2）
正确答案
解：（1）设物体所受滑动摩擦力为f，物体在0-10 s的运动过程中，由牛顿第二定律得F-f=ma1
根据v-t图像及运动学公式得v=a1t1 物体在10-14s的运动过程中，由牛顿第二定律得
根据v-t图像及运动学公式得v=a2t2
由以上各式代入数据解得，拉力F=8.4 N
（2）f=μmg
又由（1）可解得f=6.8 N
则动摩擦因数μ=0.34
倾角为45°的光滑斜面体固定在平板小车上，将质量为10 kg的小球用轻绳挂在斜面的顶端，如图所示。
（1）当小车以加速度a=1/3g，沿图示方向运动时（向右），求绳中的张力；
（2）当小车以加速度a=
正确答案
解：设斜面体的加速度为a0时，小球刚好要离开斜面，即FN=0，此时小球的受力分析如图所示，F合=mgcotα，又因为F合=ma0，所以a0=gcotα=g
（1）当斜面体以加速度a1=1/3g向右运动时，a1
FT1cosα－FN1sinα=ma1 ①
FT1sinα+FN1cosα=mg ②
由①②得
（2）当斜面体以加速度a=
由图乙可知
航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器，其质量m＝2kg，动力系统提供的恒定升力F ＝28N。试飞时，飞行器从地面由静止开始竖直上升。设飞行器飞行时所受的阻力大小不变。
（1）第一次试飞中，飞行器飞行t1＝8s时到达的高度H＝64m，求飞行器所受阻力f的大小；
（2）第二次试飞中，飞行器飞行t2＝6s时遥控器出现故障，飞行器立即失去升力，求飞行器能达到的最大高度h；
（3）为了使飞行器不致坠落到地面，求飞行器从开始下落到恢复升力的最长时间t。
正确答案
解：（1）第一次飞行中，设加速度为a1匀加速运动：
由牛顿第二定律：
解得：
（2）第二次飞行中，设失去升力时的速度为v1，上升的高度为s1匀加速运动：
设失去升力后的速度为a2，上升的高度为s2由牛顿第二定律：
解得：
（3）设失去升力下降阶段加速度为a3；恢复升力后加速度为a4，恢复升力时速度为v3由牛顿第二定律
F+f-mg＝ma4 且
V3＝a3t3
解得t3＝
表演“顶竿”杂技时，一人站在地上（称为“底人”），肩上扛一长6 m、质量为5 kg的竹竿。一质量为40 kg的演员在竿顶从静止开始先匀加速再匀减速下滑，滑到竿底时速度正好为零。假设加速时的加速度大小是减速时的2倍，下滑总时间为3s。问这两个阶段竹竿对“底人”的压力分别为多大？（g=10 m/s2）
正确答案
解：设竿上演员下滑过程中的最大速度为v，加速和减速阶段的摩擦力分别为F1和F2，加速度大小分别为a1和a2，则a1=2a2
以t1、t2分别表示竿上演员加速和减速下滑的时间
由v=a1t1和v=a2t2，得
因为
所以v=4 m/s
联立a1=2a2，解得a1=4m/s2，a2=2 m/s2
在下滑的加速阶段，对竿上演员应用牛顿第二定律，由mg－F1=ma1，得 F1=m（g－a1）=240 N
对竹竿应用平衡条件有F1+m0g=FN1
根据牛顿第三定律，竹竿对“底人”的压力为FN1'=FN1=F1+m0g=290N
在下滑的减速阶段，对竿上的演员应用牛顿第二定律有F2－mg=ma2，得F2=m（g+a2）=480 N
对竹竿应用平衡条件有F2+m0g=FN2
根据牛顿第三定律，竹竿对“底人”的压力为FN2'=FN2=F2+m0g=530 N
如图所示，一辆汽车A接着装有集装箱的拖车B，以速度v1=30m/s进入向下倾斜的直车道。车道每100m下降2m。为使汽车速度在s=200m的距离内减到v2=10m/s，驾驶员必须刹车。假定刹车时地面的摩擦阻力是恒力，且该力的70%作用于拖车B，30%作用于汽车A。已知A的质量m1=2000kg，B的质量m2=6000kg。求汽车与拖车的连接处沿运动方向的相互作用力。取重力加速度g=10m/s2。
正确答案
解：汽车沿倾斜车道作匀减速运动，用a表示加速度的大小，有
用F表示刹车时的阻力，根据牛顿第二定律有
式中
设刹车过程中地面作用于汽车的阻力为f，根据题意
方向与汽车前进方向相反：用fN表示拖车作用汽车的力，设其方向与汽车前进方向相同。以汽车为研究对象，由牛顿第二定律有
由②④⑤式得
由①③⑥式，代入有关数据得
如图所示，倾角θ=37°的斜面上，轻弹簧一端固定在A点，自然状态时另一端位于B点，斜面上方有一半径R=l m、圆心角等于143°的竖直圆弧形光滑轨道与斜面相切于D处，圆弧轨道的最高点为M。现用一小物块将弹簧缓慢压缩到C点后释放，物块经过B点后的位移与时间关系为x=8t－4.5t2（x单位是m，t单位是s），若物块经过D点后恰能到达M点，取g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）物块与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）BD间的距离XBD。
正确答案
解：（1）由x=8t－4.5t2知，物块在B点的速度v0=8 m/s，从B到D过程中加速度大小a=9 m/s2 ①
由牛顿第二定律得
得
（2）物块在M点的速度满足
物块从D到M过程中，有
物块在由B到D过程中，有
解得XBD=1 m ⑦
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