由an与Sn的关系求通项an
共103题

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由an与Sn的关系求通项an
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题型：简答题

简答题 · 12 分

19. 已知数列的前n项和，是等差数列，且.

（I）求数列的通项公式；

（II）令.求数列的前n项和.

正确答案

（Ⅰ）;（Ⅱ）

解析

试题分析：（Ⅰ）由题意得，解得，得到。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而

利用“错位相减法”即得

试题解析：（Ⅰ）由题意当时，，当时，；所以；设数列的公差为，由，即，解之得，所以。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，即

，所以，以上两式两边相减得。

所以

考查方向

等差数列的通项公式；等比数列的求和；“错位相减法”.

知识点

由an与Sn的关系求通项an由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和

题型：单选题

单选题 · 5 分

4.已知为数列的前项和，且，，则（）

正确答案

解析

考查方向

本题主要考察了数列的基本性质，数列的前n项和，比较简单

解题思路

本题属于常规题，使用直接法，计算找出规律，分组求和，

易错点

该题易错于无法找到数列的规律性

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.已知数列前项和为，若，则．

正确答案

解析

，，所以。

考查方向

数列的前n项和与通项的关系的应用。

解题思路

本题考查转化思想的能力，解题步骤如下：将代入然后求出。

易错点

不会转化成关于和有关的式子。

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：简答题

简答题 · 12 分

18. 设数列的前n项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正整数n，使得？若存在，求出n值；若不存在，说明理由.

正确答案

（1）；

（2）.

解析

本题属于三角函数的图像与性质及正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关函数的知识，即可解决本题，解析如下：

解：（1）

所以时,

两式相减得:

即也即,

所以为公差为的等差数列

所以(Ⅱ)

所以

所以即当时,

考查方向

本题考查了数列的相关知识点，属于简单题。

易错点

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的判断与证明等差数列的前n项和及其最值

题型：简答题

简答题 · 16 分

19. 设数列的前项和，，，且当时，．

（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

正确答案

见解析

解析

解：（1）当时, ,,

代入并化简得,

而恒为正值,∴

∴数列是等比数列.

∴.当时,,

又，∴

（2）当时，,此时，又

∴.

故，

当时，

，

若，

则等式为，不是整数，不符合题意；

若，则等式为，

∵是整数, ∴必是的因数, ∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立.

考查方向

本题考查了等比数列的证明及数列的通项公式求法

解题思路

利用，得数列是等比数列.

易错点

忽略n的范围的讨论。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明裂项相消法求和数列与函数的综合

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