- 推理与证明
- 共1204题
当今世界进入了计算机时代，我们知道计算机装置有一个数据输入口A和一运算结果输出口B，某同学编入下列运算程序，将数据输入且满足以下性质：
①从A输入1时，从B得到
②从A输入整数n（n≥2）时，在B得到的结果f（n）是将前一结果f（n-1）先乘以奇数2n-3，再除以奇数2n+1．
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）试由（1）推测f（n）的表达式，并用数学归纳法证明；
（3）求
正确答案
（1）解：是题意知f（1）=
∴当n=2时f（x）=
当n=3时f（3）=
当n=4时f（4）=
猜想f（n）=
（2）证明：（ⅰ）当n=1时f（1）=
（ⅱ）假设n=k（k∈N*且k≥1）时，f（k）=
那么n=k+1时，f（k+1）=
∴n=k+1时也满足f（n）=
综上知：f（n）=
（3）
=lim
=
解析
（1）解：是题意知f（1）=
∴当n=2时f（x）=
当n=3时f（3）=
当n=4时f（4）=
猜想f（n）=
（2）证明：（ⅰ）当n=1时f（1）=
（ⅱ）假设n=k（k∈N*且k≥1）时，f（k）=
那么n=k+1时，f（k+1）=
∴n=k+1时也满足f（n）=
综上知：f（n）=
（3）
=lim
=
已知数列{an}满足：a1=a2=a3=k，an+1=
（1）求b1、b2、b3、b4；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）是否存在正数k，使得数列{an}的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k．
正确答案
解：（1）经过计算可知：a4=k+1，a5=k+2，
求得
（2）由条件可知：an+1an-2=k+anan-1．…①
类似地有：an+2an-1=k+an+1an．…②
①-②有：
即：bn=bn-2
∴
所以：
（3）假设存在正数k，使得数列{an}的每一项均为整数
则由（2）可知：
由
当k=1时，
当k=2时，③变为
我们用数学归纳法证明a2n-1为偶数，a2n为整数
n=1时，结论显然成立，假设n=k时结论成立，这时a2n-1为偶数，a2n为整数，故a2n+1=2a2n-a2n-1为偶数，a2n+2为整数，所以n=k+1时，命题成立．
故数列{an}是整数列．
综上所述，k的取值集合是{1，2}．…（13分）
解析
解：（1）经过计算可知：a4=k+1，a5=k+2，
求得
（2）由条件可知：an+1an-2=k+anan-1．…①
类似地有：an+2an-1=k+an+1an．…②
①-②有：
即：bn=bn-2
∴
所以：
（3）假设存在正数k，使得数列{an}的每一项均为整数
则由（2）可知：
由
当k=1时，
当k=2时，③变为
我们用数学归纳法证明a2n-1为偶数，a2n为整数
n=1时，结论显然成立，假设n=k时结论成立，这时a2n-1为偶数，a2n为整数，故a2n+1=2a2n-a2n-1为偶数，a2n+2为整数，所以n=k+1时，命题成立．
故数列{an}是整数列．
综上所述，k的取值集合是{1，2}．…（13分）
给定数列{an}：
（1）判断a2是否为有理数，证明你的结论；
（2）是否存在常数M＞0．使an＜M对n∈N*都成立？若存在，找出M的一个值，并加以证明； 若不存在，说明理由．
正确答案
解：（1）a2是无理数，若不然，设
则
（2）设
则
于是
令
则
从而可取M=3（或M=4等）．则对∀n∈N*，均有an＜3成立．
解析
解：（1）a2是无理数，若不然，设
则
（2）设
则
于是
令
则
从而可取M=3（或M=4等）．则对∀n∈N*，均有an＜3成立．
用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开的式子是______．
正确答案
（k+3）3
解析
解：n=k+1时，证明“（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3能被9整除”，根据归纳假设，n=k时，证明“k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除”，
所以只需展开（k+3）3．
故答案为：（k+3）3．
设
正确答案
证明：
（1）当n=1时，等式左边=a1=1，右边=
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N*）等式也成立，即a1+a2+…+ak-1=kak-k
当n=k+1时，a1+a2+…+ak-1+ak=（kak-k）+ak=（k+1）ak-k=
由（1）、（2）可知，对任意的n≥2，n∈N*，原等式均成立．
解析
证明：
（1）当n=1时，等式左边=a1=1，右边=
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N*）等式也成立，即a1+a2+…+ak-1=kak-k
当n=k+1时，a1+a2+…+ak-1+ak=（kak-k）+ak=（k+1）ak-k=
由（1）、（2）可知，对任意的n≥2，n∈N*，原等式均成立．
用数学归纳法证明“
正确答案
解析
解：假设n=k时，不等式成立，即1+
则当n=k+1时，需证1+
∴从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是
故答案为：
在数列{an}中，an=（-1）n+1•n2，观察下列规律：
1=1；
1-4=-3=-（1+2）；
1-4+9=6=1+2+3；
1-4+9-16=-10=-（1+2+3+4）；
…
试写出数列{an}的前n项和公式，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：∵S1=1，S2=-（1+2），S3=1+2+3，S4=-（1+2+3+4），
∴猜想，
证明
①当n=1时，
②假设n=k时，
Sk+1=Sk+ak+1=
=
由①②知
解析
解：∵S1=1，S2=-（1+2），S3=1+2+3，S4=-（1+2+3+4），
∴猜想，
证明
①当n=1时，
②假设n=k时，
Sk+1=Sk+ak+1=
=
由①②知
数列{an}满足a1=1且
（1）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）
（2）设
（3）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：
正确答案
证明：（1）①当n=2 时，a2=2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak≥2，那么
即当n=k+1时不等式成立．
根据①②可知：an≥2对 n≥2成立．…（4分）
（2）∵
当n=1时，
当n≥2时，an≥2，
故
=1+
（3）当n≥2时，由（1）的结论知：
∵ln（1+x）＜x，
∴
∴
求和可得
而a2=2，∴
故对任意的正整数n，有
解析
证明：（1）①当n=2 时，a2=2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak≥2，那么
即当n=k+1时不等式成立．
根据①②可知：an≥2对 n≥2成立．…（4分）
（2）∵
当n=1时，
当n≥2时，an≥2，
故
=1+
（3）当n≥2时，由（1）的结论知：
∵ln（1+x）＜x，
∴
∴
求和可得
而a2=2，∴
故对任意的正整数n，有
用数学归纳法证明“2n＞n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ ）
正确答案
解析
解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；
结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=12+1=2，2n＞n2+1不成立，
n=2时，左=22=4，右=22+1=5，2n＞n2+1不成立，
n=3时，左=23=8，右=32+1=10，2n＞n2+1不成立，
n=4时，左=24=16，右=42+1=17，2n＞n2+1不成立，
n=5时，左=25=32，右=52+1=26，2n＞n2+1成立，
因为n＞5成立，所以2n＞n2+1恒成立．
故选C．
用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n-1）2=
正确答案
（2k+1）2
解析
解：用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n-1）2=
第二步，假设n=k时等式成立，即12+32+52+…+（2k-1）2=
那么，当n=k+1时，12+32+52+…+（2k-1）2+（2k+1）2=
等式左边增加的项是（2k+1）2，
故答案为：（2k+1）2．
求证：当n≥3，n∈N时，2n≥2（n+1）
正确答案
证明：（1）n=3时，23=8，2（n+1）=8，等号成立；
（2）设n=k时，结论成立，即2k≥2（k+1），则
n=k+1时，2k+1≥4（k+1）＞2k+4=2[（k+1）+1]，即n=k+1时，结论成立
由（1）（2）可知，当n≥3，n∈N时，2n≥2（n+1）
解析
证明：（1）n=3时，23=8，2（n+1）=8，等号成立；
（2）设n=k时，结论成立，即2k≥2（k+1），则
n=k+1时，2k+1≥4（k+1）＞2k+4=2[（k+1）+1]，即n=k+1时，结论成立
由（1）（2）可知，当n≥3，n∈N时，2n≥2（n+1）
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：Sn2+1=（an-2）Sn，n∈N*
（1）求S1，S2，S3，猜想Sn，并用数学归纳法证明；
（2）设
正确答案
（1）解：∵Sn2+1=（an-2）Sn，
令n=1，可得S1=-
利用数学归纳法证明：
①当n=1时，S1=-
②假设n=k∈N*时，Sk=-
则当n=k+1时，由
化为
∴当n=k+1时命题成立．
综上可知：Sn=-
（2）由Sn2+1=（an-2）Sn，Sn=-
∴
∴对任意正整数n，有b1+b2+…+bn=
∴对任意正整数n，有b1+b2+…+bn＜1．
解析
（1）解：∵Sn2+1=（an-2）Sn，
令n=1，可得S1=-
利用数学归纳法证明：
①当n=1时，S1=-
②假设n=k∈N*时，Sk=-
则当n=k+1时，由
化为
∴当n=k+1时命题成立．
综上可知：Sn=-
（2）由Sn2+1=（an-2）Sn，Sn=-
∴
∴对任意正整数n，有b1+b2+…+bn=
∴对任意正整数n，有b1+b2+…+bn＜1．
已知等式cosα•cos2α=
（1）请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式；
（2）试用数学归纳法证明你写出的等式．
正确答案
（1）解：cosα•cos2α•…•cos 2n-1α=
（2）证明：当n=2时，显然成立．
假设当n=k时，cosα•cos2α…cos2k-1α=
那么，当n=k+1时，
cosα•cos2α…cos2k-1α•cos2kα=
即当n=k+1时，等式也成立．
由（1），（2）得cosα•cos2α•…•cos 2n-1α=
解析
（1）解：cosα•cos2α•…•cos 2n-1α=
（2）证明：当n=2时，显然成立．
假设当n=k时，cosα•cos2α…cos2k-1α=
那么，当n=k+1时，
cosα•cos2α…cos2k-1α•cos2kα=
即当n=k+1时，等式也成立．
由（1），（2）得cosα•cos2α•…•cos 2n-1α=
已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，且Sn是2a与-2nan的等差中项，其中a是不等于零的常数．
（1）求a1，a2，a3；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．
正确答案
解：（1）由题意Sn=a-nan，…（1分）
当n=1时，S1=a1=a-a1，∴
当n=2时，S2=a1+a2=a-2a2，∴
当n=3时，S3=a1+a2+a3=a-3a3，∴
（2）猜想：
证明：①当n=1时，由（1）可知等式成立； …（7分）
②假设n=k（k≥1，k∈N*）时等式成立，即：
则当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=a-（k+1）ak+1-（a-kak），
∴
即n=k+1时等式也成立．…（14分）
综合①②知：
解析
解：（1）由题意Sn=a-nan，…（1分）
当n=1时，S1=a1=a-a1，∴
当n=2时，S2=a1+a2=a-2a2，∴
当n=3时，S3=a1+a2+a3=a-3a3，∴
（2）猜想：
证明：①当n=1时，由（1）可知等式成立； …（7分）
②假设n=k（k≥1，k∈N*）时等式成立，即：
则当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=a-（k+1）ak+1-（a-kak），
∴
即n=k+1时等式也成立．…（14分）
综合①②知：
数列{an}中，
（1）计算S1，S2，S3，S4；
（2）猜想Sn的表达式并用数学归纳法证明．
正确答案
解：（1）∵
∴
（2）猜想Sn=-
①n=1时，结论成立；
②假设n=k时，成立，即可Sk=-
则n=k+1时，
即n=k+1时，猜想成立，
①②可知Sn=-
解析
解：（1）∵
∴
（2）猜想Sn=-
①n=1时，结论成立；
②假设n=k时，成立，即可Sk=-
则n=k+1时，
即n=k+1时，猜想成立，
①②可知Sn=-
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