- 推理与证明
- 共1204题
设数列{an}满足
（Ⅰ）求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式，证明你的结论；
（Ⅱ）若bn=an-1，不等式
正确答案
解：（Ⅰ）由a1=2，得a2=
由a2=3，得a3=
由a4=
由此猜想an=n+1．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a1=1+1，猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即ak=k+1，
那么当n=k+1时，
ak+1=
由（1）（2）知，对于任意的n∈N*都有an=n+1成立．
（Ⅱ）∵bn=an-1=n，
∴
设f（n）=
则f（n+1）=
=
=f（n）+
∴f（n+1）＞f（n）＞…＞f（1）=
∴m=11．
解析
解：（Ⅰ）由a1=2，得a2=
由a2=3，得a3=
由a4=
由此猜想an=n+1．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a1=1+1，猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即ak=k+1，
那么当n=k+1时，
ak+1=
由（1）（2）知，对于任意的n∈N*都有an=n+1成立．
（Ⅱ）∵bn=an-1=n，
∴
设f（n）=
则f（n+1）=
=
=f（n）+
∴f（n+1）＞f（n）＞…＞f（1）=
∴m=11．
给出四个等式：
1=1
1-4=-（1+2）
1-4+9=1+2+3
1-4+9-16=-（1+2+3+4）
…
（1）写出第5，6个等式，并猜测第n（n∈N*）个等式；
（2）用数学归纳法证明你猜测的等式．
正确答案
解：（1）第5行 1-4+9-16+25=1+2+3+4+5-----------------------------------------（2分）
第6行 1-4+9-16+25-36=-（1+2+3+4+5+6）-------------------------------（4分）
第n行等式为：
12-22+32-42+…+（-1）n-1n2=（-1）n-1•（1+2+3+…+n）．-------------（6分）
（2）证明：①当n=1时，左边=12=1，
右边=（-1）0×
②假设n=k（k∈N*）时，等式成立，即12-22+32-42+…+（-1）k-1k2=（-1）k-1•
则当n=k+1时，
12-22+32-42+…+（-1）k-1k2+（-1）k（k+1）2
=（-1）k-1•
=（-1）k（k+1）•[（k+1）-
=（-1）k•
∴当n=k+1时，等式也成立
根据①②可知，对于任何n∈N*等式均成立．--------------------------（12分）
解析
解：（1）第5行 1-4+9-16+25=1+2+3+4+5-----------------------------------------（2分）
第6行 1-4+9-16+25-36=-（1+2+3+4+5+6）-------------------------------（4分）
第n行等式为：
12-22+32-42+…+（-1）n-1n2=（-1）n-1•（1+2+3+…+n）．-------------（6分）
（2）证明：①当n=1时，左边=12=1，
右边=（-1）0×
②假设n=k（k∈N*）时，等式成立，即12-22+32-42+…+（-1）k-1k2=（-1）k-1•
则当n=k+1时，
12-22+32-42+…+（-1）k-1k2+（-1）k（k+1）2
=（-1）k-1•
=（-1）k（k+1）•[（k+1）-
=（-1）k•
∴当n=k+1时，等式也成立
根据①②可知，对于任何n∈N*等式均成立．--------------------------（12分）
用数学归纳法证明：
正确答案
证明：（1）当n=1时，左边=1×2×3=6，右边=
（2）设当n=k（k∈N*）时，等式成立，
即
则当n=k+1时，
左边=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）
∴n=k+1时，等式成立．
由（1）、（2）可知，原等式对于任意n∈N*成立．
解析
证明：（1）当n=1时，左边=1×2×3=6，右边=
（2）设当n=k（k∈N*）时，等式成立，
即
则当n=k+1时，
左边=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）
∴n=k+1时，等式成立．
由（1）、（2）可知，原等式对于任意n∈N*成立．
用数学归纳法证明4n≥n4（n为大于3的正整数）．将4换成其他更大的数能否成立并讨论其规律．
正确答案
证明：当n=4时，显然成立，
当n=5时，45=1024，54=625，45＞54，成立；
假设n=k（k≥4，k∈N），4k≥k4成立．
当n=k+1时，4k+1=4k•4≥4k4，
4k4-（k+1）4=[2k2-（k+1）2][2k2+（k+1）2]
=（k2-2k-1）[2k2+（k+1）2]=[（k-1）2-2][2k2+（k+1）2]，
由于k≥3，则（k-1）2-2＞0，2k2+（k+1）2＞0，
则有4k4-（k+1）4≥0，
则有n=k+1时，4k+1≥（k+1）4成立．
综上，可得，4n≥n4（n为大于3的正整数）．
将4换成其他更大的数，比如m＞4，则有mn≥nm（n为大于m-1的正整数）．
解析
证明：当n=4时，显然成立，
当n=5时，45=1024，54=625，45＞54，成立；
假设n=k（k≥4，k∈N），4k≥k4成立．
当n=k+1时，4k+1=4k•4≥4k4，
4k4-（k+1）4=[2k2-（k+1）2][2k2+（k+1）2]
=（k2-2k-1）[2k2+（k+1）2]=[（k-1）2-2][2k2+（k+1）2]，
由于k≥3，则（k-1）2-2＞0，2k2+（k+1）2＞0，
则有4k4-（k+1）4≥0，
则有n=k+1时，4k+1≥（k+1）4成立．
综上，可得，4n≥n4（n为大于3的正整数）．
将4换成其他更大的数，比如m＞4，则有mn≥nm（n为大于m-1的正整数）．
某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得
[ ]
正确答案
k（k≥3，k∈N*）棱柱有f（k）个对角面，则（k+1）棱柱的对角面个数f（k+1）为
[ ]
正确答案
满足1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=3n2-3n+2的自然数n等于
[ ]
正确答案
用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用假设，应将5k+1-2k+1变形为
[ ]
正确答案
如果命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P（n）对n=4不成立，则下列结论正确的是
[ ]
正确答案
用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”的第二步是
[ ]
正确答案
设数列{an}满足：a1=1，
（1）求证数列{bn-3}是等比数列并求数列{bn}的通项公式；
（2）已知f（n）=6an+1-3an，求证：
正确答案
证明：（1）由
∴2bn+1=bn+3，∴2（bn+1-3）=bn-3，
∴{bn-3}是首项为2，公比为
∴
（2）法一：由（2）得
∴
∵
∴
法二：同理由
∵
∴
解析
证明：（1）由
∴2bn+1=bn+3，∴2（bn+1-3）=bn-3，
∴{bn-3}是首项为2，公比为
∴
（2）法一：由（2）得
∴
∵
∴
法二：同理由
∵
∴
在数列{an}中，a1=1，a2=
（Ⅰ）求a3、a4，猜想an的表达式，并加以证明；
（Ⅱ）设bn=
正确答案
（Ⅰ）解：∵数列{an}中，a1=1，a2=
∴a3=
故可以猜测
下面用数学归纳法证明：显然当n=1时，结论成立．…（3分）
假设当n=k（k≥1）时结论成立，即
当n=k+1时，
即当n=k+1时，结论也成立，综合可得
（Ⅱ）证明：∵
∴b1+b2+…
要证b1+b2+…+bn＜
只需证明
即证
解析
（Ⅰ）解：∵数列{an}中，a1=1，a2=
∴a3=
故可以猜测
下面用数学归纳法证明：显然当n=1时，结论成立．…（3分）
假设当n=k（k≥1）时结论成立，即
当n=k+1时，
即当n=k+1时，结论也成立，综合可得
（Ⅱ）证明：∵
∴b1+b2+…
要证b1+b2+…+bn＜
只需证明
即证
已知数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=an-ln（an+1）；数列{bn}满足
（Ⅰ）求证：0＜an+1＜an＜1；
（Ⅱ）若a1=
正确答案
证明：（Ⅰ）先用数学归纳法证明0＜an＜1．
①当n=1时，由已知得结论成立
②假设n=k（k∈N+）时0＜ak＜1成立，则当n=k+1时，设f（x）=x-ln（x+1），
于是
所以f（0）＜f（ak）＜f（1）=1-ln2＜1，又f（0）=0，从而0＜ak+1＜1，
这就是说当n=k+1时命题成立，
由①②知0＜an＜1成立
又an+1-an=-ln（1+an）＜0，即an+1＜an，
综上可得，0＜an+1＜an＜1，n∈N+．…（6分）
（Ⅱ）因为
所以n≥2时，
因为an+1＜
从而n≥2时 
因为a1=
所以
因此当n≥2时，bn＞an•n!．…（13分）
解析
证明：（Ⅰ）先用数学归纳法证明0＜an＜1．
①当n=1时，由已知得结论成立
②假设n=k（k∈N+）时0＜ak＜1成立，则当n=k+1时，设f（x）=x-ln（x+1），
于是
所以f（0）＜f（ak）＜f（1）=1-ln2＜1，又f（0）=0，从而0＜ak+1＜1，
这就是说当n=k+1时命题成立，
由①②知0＜an＜1成立
又an+1-an=-ln（1+an）＜0，即an+1＜an，
综上可得，0＜an+1＜an＜1，n∈N+．…（6分）
（Ⅱ）因为
所以n≥2时，
因为an+1＜
从而n≥2时
因为a1=
所以
因此当n≥2时，bn＞an•n!．…（13分）
用数学归纳法证明命题时，某命题左式为
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意，n=k时，最后一项为 
∴由n=k变到n=k+1时，左边增加了 
故选B．
用数学归纳法证明：“1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2，n∈N+”，当n=1时，左端为______．
正确答案
4
解析
解：在等式：“1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2，n∈N+”中，
当n=1时，3n+1=4，
而等式左边起始为1×4的连续的正整数积的和，
故n=1时，等式左端=1×4=4
故答案为：4．
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