热门试卷

解：（1）f（1）=2，f（n1+n2）=f（n1）•f（n2）

∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=22=4、

f（3）=f（2+1）=f（2）•f（1）=22•2=8、

f（4）=f（3+1）=f（3）•f（1）=23•2=16；

（2）猜想f（n）=2n，n∈N*

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，f（1）=21=2∴猜想正确；…（7分）

②假设当n=k（k≥1）时猜想正确，即f（k）=2k，k∈N*

那么当n=k+1时，f（k+1）=f（k）f（1）=2k•2=2k+1

所以，当n=k+1时，猜想正确

由①②知，对n∈N*，f（n）=2n，正确．…（13分）

解：假设存在a、b、c使12+22+32+…n2+（n-1）2+…21+12=an（bn2+c）对于一切n∈N*都成立．

当n=1时，a（b+c）=1；当n=2时，2a（4b+c）=6；当n=3时，3a（9b+c）=19．

解方程组，解得．

证明如下：

①当n=1时，由以上知存在常数a、b、c使等式成立．

②假设n=k（k∈N*）时等式成立，

即12+22+32+…k2+（k-1）2+…22+12=ak（bk2+c）=；

当n=k+1时，12+22+32+…（k+1）2+k2+…22+12=ak（bk2+c）=+（k+1）2+k2=；

即n=k+1时，等式成立．

因此存在，使等式对一切n∈N*都成立．

证明：①当n=2时，左端=1+=，右端=，又知，∴左端＞右端，即当n=2时有原不等式成立．

②假设当n=k时，有原不等式成立，即成立，

那么当n=k+1时，有=

又4k2+8k+4＞4k2+8k+3，∴，

即，即对n=k时成立，

综上，由①②知，对一切大于1的自然数n，不等式成立．

解：令n=1，2可得=，+=，

∴p+q=8，4p+2q=22，

∴p=3，q=5，

∴++…+=．

证明如下：

①n=1时，左边==，右边==，结论成立；

②假设n=k时结论成立，即++…+=，

则n=k+1时，左边=++…++=+

=．

即n=k+1时，结论成立，

由①②可知++…+=．

（1）证明：利用数学归纳法．

（i）当n=1时，x1=1≥1，结论成立．

（ii）假设当n≤k，k∈N*时，结论成立，即k个正数x1、x2，…，xk的乘积x1x2…xk=1，那么它们的和x1+x2+…+xk≥k．

当n=k+1时，k+1个正数x1、x2，…，xk，xk+1的乘积x1x2…xk•xk+1=1，

显然存在xi≥1，xj≤1（i，j∈{1，2，3，…，k+1}），不妨设i=1，j=2．则（x1x2）•x3•…•xk+1=1，

由归纳假设可得：x1x2+x3+…+xk+1≥k，∵x1≥1，x2≤1，∴（x1-1）（x2-1）≤0，∴x1x2+1≤x1+x2，

∴x1+x2+…+xk+xk+1≥x1x2+1+x3+…+xk+1≥k+1．

综上可知：对于∀n∈N*，命题成立．

（2）证明：令x1=＞0，…，xn=＞0，

∴x1x2•…•xn=1．

由引理可得：x1+x2+…+xn≥n，∴≥n，即≥．

解：S1=，S2=，S3=，猜想：Sn=．

下面用数学归纳法加以证明：①n=1时，成立；

②假设n=k时，猜想成立，即Sk=，

则n=k+1时，Sk+1=+=，

∴n=k+1时猜想也成立

根据①②可知猜想对任何n∈N*都成立．

解：（1）f（6）=6+2++=13；

（2）当n≥6时，f（n）=．

下面用数学归纳法证明：

①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；

②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：

1）若k+1=6t，则k=6（t-1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；

2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；

3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；

4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；

5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；

6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．

综上所述，结论f（n）=n+[]+[]+3，对满足n≥6的自然数n均成立．

证明：①当n=1时，左边=2，右边=，等式成立；

②假设当n=k时，等式成立，

即

则当n=k+1时，

左边==（k+1）（k+2）（k+1）=（k+1）（k+2）（k+3）

即n=k+1时，等式也成立．

所以对任意正整数都成立．

解：（1）a1=a（1+）-b=a-b，

a2=a1-b=（a-b）-b=a-（+1）b，

a3=a2-b=a-[++1]b，

（2）由（1）可推测

an=a-[++…++1]b

=a-4[-1]b（n∈N*）．

证明如下：①当n=1时，a1=a（1+）-b=a-b，已证推测成立．

②假设n=k时，ak=a-4[-1]b（k∈N*）成立，

则当n=k+1时，

ak+1=ak-b={a-4[-1]b}-b

=a-4[-1]b，

故当n=k+1时，推测也成立．

由①②知，对n∈N*推测成立．

（3）当b=a时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于a，

∴a-4[-1]×a＜a，

即＞5．

两边取对数得：nlg＞lg5，n＞=≈7，

∴经过8年后该地区就开始水土流失．

解：S1=1-=，S2=1-=，S3=1-=，猜测Sn=．

运用数学归纳法证明：当n=1时，S1=，S1=，等式成立，

假设当n=k时，Sk=成立，

则当n=k+1时，Sk+1=Sk+=+=1-=，

即当n=k+1时，等式也成立．

故对n∈N*，测Sn=都成立．