热门试卷

解：（1）∵a1=，an+1=，

∴a2=＞0，

则a3＞0，

由归纳法知an＞0，

an+1=，

当且仅当an=1取等号，

∵a1=≠1，∴等号不成立，

即an+1＜1，则0＜an＜1

∵an-an+1=an-=an（）＜0，

∴an＜an+1，

即0＜an＜an+1＜1；

（2）由（1）知，{an}为正项递增数列，且an＜1；

∴kak＞a1+a2+a3+…+ak，（k≥2），

故ak-Ak＞0，

①当n=2时，＜，成立，

②假设当n′=n时，|ak-Ak|＜成立，

则当n′=n+1时，（ak-Ak）=（ak-Ak）+an+1-An+1，

其中an+1-An+1=＜（an+1-a1）=（an+1-），

∴（ak-Ak）=（ak-Ak）+an+1-An+1＜+＜，

故当n′=n+1时，不等式也成立，

综上由①②得|ak-Ak|＜（n≥2）成立．

证明（1）n=1时，

左边=右边，等式成立

（2）假设n=k时等式成立，

即

则n=k+1时，

左边=

=

∴n=k+1时，等式成立

由（1）（2）知，对一切

解：（1）∵a1=1，an+1=，

∴a2===，

同理可求，a3=，a4=…（2分）

（2）由（1）猜想an=…（5分）

证明：①当n=1时，a1===1，猜想成立    …（7分）

②假设n=k（k＞1且k∈N*）时ak=成立 …（8分）

那么当n=k+1时，ak+1=====，

即：n=k+1猜想成立                        …（12分）

综上所述：当n∈N*时an=成立．            …（13分）

解：（1）∵，

∴sn+1-sn=an（1-an+1）∴an+1=an（1-an+1）=an-anan+1，

∴an-an+1=anan+1，

又an≠0∴，

∴构成以2为首项，以1为公差的等差数列

．，

（2）当n=1时，，即，所以a＜26．

而a是正整数，所以取a=25，

下面用数学归纳法证明：．

（1）当n=1时，已证；

（2）假设当n=k时，不等式成立，即．

则当n=k+1时，有

=

．                              

因为，

所以．

所以当n=k+1时不等式也成立．                 

由（1）（2）知，对一切正整数n，都有；

故a的最大值为25．

证明：①f（x）=lnx，f′（ξ）=，x＜ξ＜y               …（1分）

（注1：只要构造出函数f（x）=lnx即给1分）

故lny-lnx=，又＜＜…（*）    …（2分）

即1-＜lny-lnx＜-1（0＜x＜y）  …（3分）

②证明：由（*）式可得＜ln2-ln1＜，

＜ln3-ln2＜，

…

＜lnn-ln（n-1）＜，…（6分）

上述不等式相加，得＜lnn＜（n＞1）…（8分）

（注：能给出叠加式中的任何一个即给（1分），能给出一般式＜lnn-ln（n-1）＜，给出2分）

（2）下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（）（x-y）不恒成立．

（注：能猜出n≥3时等式不恒成立即给1分）

当n=1时，f（x）-f（y）=f′（）（x-y）显然成立．…（9分）

当n=2时，f（x）-f（y）=x2-y2=2（）（x-y）=f′（）（x-y）．…（10分）

下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（）（x-y）不恒成立．

不妨设x=2，y=0，则已知条件化为：2n-1=n．                         …（11分）

当n≥3时，2n-1=（1+1）n-1=++…+≥2+=n+1＞n，…（13分）

因此，n≥3时方程2n-1=n无解．

故n的所有可能值为1和2．…（14分）

证明：．

当n=1时，，

当n=2时，=；

假设对一般的n=1，2，3，4，…k时命题成立，那么当n=k+1时：

ak+1=ak-1+ak=

=

=

=

=．

综上，命题对于任意的n∈N*都成立．

即斐波拉契数列的通项公式为．

解：（1）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx-ax＞0”，

“＜b”等价于“sinx-bx＜0”．

令g（x）=sinx-cx，则g′（x）=cosx-c．

①当c≤0时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立．

②当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx-c＜0，

∴g（x）在区间（0，）上单调递减，

从而g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立．

③当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0-c=0．

g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：

∵g（x）在区间（0，x0）上是增函数，

∴g（x0）＞g（0）=0．

于是“g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立”当且仅当g（）=1-c≥0，即0＜c≤．

综上所述，当且仅当c≤时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立；

当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立．

∴若a＜＜b对任意x∈（0，）恒成立，

则a的最大值为，b的最小值为1．

（2）证明：①当n=2时，，即原不等式成立；

②假设n=k时，原不等式成立，即：；

则当n=k+1时，左边=sin+sin+…++＞，

下面只要证明：+＞，即证明＞即可．

由（1）可知：＞=，而＞，

∴＞．

综上可得：命题对于n≥2，n∈N*都成立．

解：（1）∵数列{an}满足2an+1an-3an+1-an+2=0，n∈N*，a1=．

∴当n=1时，2a2a1-3a2-a1+2=0，即=0，解得a2=．

同理可得：a3=，a4=．

（2）由（1）猜想：an=．

下面利用数学归纳法证明．

（i）当n=1时，=成立．

（ii）假设当n=k∈N*时，成立．

则n=k+1时，有2ak+1ak-3ak+1-ak+2=0，即-3ak+1-+2=0，

解得ak+1=．

∴当n=k+1时，an=成立．

综上可得：∀n∈N*，an=成立．