- 参数方程的概念
- 共134题
已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ，则曲线C1与C2交点的个数为______个．
正确答案
∵曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ，
又x=pcosθ，y=psinθ，分别代入消去p和θ，可得，
x=3和x2+y2=4x，
∴把x=3代入x2+y2=4x得，
y=±
∴曲线C1与C2交点的个数为2个．
故答案为2．
极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的参数方程为
（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；
（2）当曲线C1和曲线C2没有公共点时，求α的取值范围．
正确答案
解析：（1）由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ
所以x2+y2=2x，即曲线C1：x2+y2-2x=0
曲线C2：(tanα)x-y+
…（10分）
若曲线的参数方程为
正确答案
因为sinθ=2sin
∴y=1+x，-1≤x≤1，
则该曲线的普通方程为x-y+1=0，-1≤x≤1
故答案为：x-y+1=0，-1≤x≤1
直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ=4cosθ
（1）若点A（1，
AP
2的取值范围；
（2）若直线l的参数方程是
正确答案
（1）点A（1，
当直线AP过圆心C（2，0）时，
AP
2最大（或最小）．
再根据|AC|=
∴
AP
2的取值范围为[9-4
（2）把直线l的参数方程化成普通方程为x-y-m=0，又直线l与曲线C有两个交点M、N，且
则：圆心C（2，0）到直线l的距离为
即：
∴m=0或4．（12分）
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知向量
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
（2）选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为(4
（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
设实数a，b满足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．
正确答案
（1）（Ⅰ）因为 
所以，
（Ⅱ）因为M=
设曲线y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x'，y'）．
由
所以
由（x，y）的任意性可知，曲线y2-x+y=0在矩阵M-1对应的线性变换作用下的曲线方程为y2=x．…（7分）
（2）（Ⅰ）由点M的极坐标为(4
所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）
（Ⅱ）由曲线C的参数方程
化为普通方程为（x-1）2+y2=2，…（5分）
圆心为A（1，0），半径为r=
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-
（3）（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．
所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
所以a的取值范围-1＜a＜1．…（4分）
（Ⅱ）因为a，b＞0，所以z=a2b=a•a•b≤(
当且仅当a=b=3时，等号成立．
故z的最大值为27．…（7分）
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