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题型:简答题
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简答题

选修4-4:坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点D为极点,以x轴正半轴为极轴,曲线Cl的极坐标方程为ρ=2cosθ,曲线C2的参数方程为(t为参数).

(I)当α=时,求曲线Cl与C2公共点的直角坐标;

(II)若α≠,当α变化时,设曲线C1与C2的公共点为A,B,试求AB中点M轨迹的极坐标方程,并指出它表示什么曲线.

正确答案

(Ⅰ)曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.①

当α=时,曲线C2的普通方程为y=x.②

由①,②得曲线C1与C2公共点的直角坐标方程为(0,0),(1,1).…(4分)

(Ⅱ)C1是过极点的圆,C2是过极点的直线.

设M(ρ,θ),不妨取A(0,θ),B(2ρ,θ),则2ρ=2cosθ.…(7分)

故点M轨迹的极坐标方程为ρ=cosθ(θ≠).

它表示以(,0)为圆心,以为半径的圆,去掉点(0,0).…(10分)

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填空题

在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sinθ,设圆C与直线l交于点A、B,则弦AB长为______.

正确答案

把直线l的参数方程(t为参数)消去参数,化为直角坐标方程为 x-y-3+=0.

圆C的方程为ρ=2sinθ,即 ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程为 x2+(y-

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)2=5,表示以C(0,)为圆心,半径等于的圆.

圆心到直线的距离d==,故弦长AB=2=

故答案为

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填空题

在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(a为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴中,曲线C2的方程为p(cosθ-sinθ)+1=0,则C1与C2的交点个数为______.

正确答案

∵曲线C1的参数方程为 (α为参数),sin2α+cos2α=1

∴曲线C1的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1

∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,p(cosθ-sinθ)+1=0

∴曲线C2的方程为x-y+1=0

而圆心到直线的距离d=0<r,故C1与C2的交点个数为2

故答案为:2

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题型:简答题
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简答题

平面直角坐标系中,将曲线(a为参数)上的每~点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1.以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线C2的方程为p=4sinθ.

(I)求Cl和C2的普通方程.

(Ⅱ)求Cl和C2公共弦的垂直平分线的极坐标方程.

正确答案

(1)若将曲线(a为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线C1

故曲线C1:(x-2)2+y2=4

又由曲线C2的方程为ρ=4sinθ,故曲线C2:x2+y2=4y.

(2)由于Cl和C2公共弦的垂直平分线经过两圆心,

则Cl和C2公共弦的垂直平分线的方程是:x+y=2,

故其极坐标方程为:ρcos(θ-)=

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简答题

选修4-4:坐标系与参数方程

直线l:(t为参数),圆C:ρ=2cos(θ+)(极轴与x轴的非负半轴重合,且单位长度相同).

(1)求圆心C到直线l的距离;

(2)若直线l被圆C截的弦长为,求a的值.

正确答案

(I)把 用代入法消去参数t,化为普通方程为 x=a+4( ),即 x+2y+2-a=0.

 ρ=2cos(θ+),即 ρ2=2ρ (cosθ-sinθ )=2ρ cosθ-2ρsinθ,

化为直角坐标系中的方程为   x2+y2=2x-2y,即  x2+y2-2x+2y=0.

∴圆心(1,-1)到直线x+2y+2-a=0 的距离为 =

(II)由弦心距、半径、半弦长之间的关系得:(

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)2+(

|a-1|

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)2=(

2

)2,∴a2-2a=0,a=0,或a=2.

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