参数方程的概念
共134题

参数方程的概念
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题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．

（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=-时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

正确答案

（Ⅰ）C1是圆，C2是椭圆．

当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），

因为这两点间的距离为2，所以a=3

当α=时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），

因为这两点重合

所以b=1．

（Ⅱ）C1，C2的普通方程为x2+y2=1和+y2=1．

当α=时，射线l与C1交点A1的横坐标为x=，

与C2交点B1的横坐标为x′=．

当α=-时，射线l与C1，C2的两个交点A2，

B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．

故四边形A1A2B2B1的面积为=．

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ（ρ＞0）．

（Ⅰ）化曲线C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作曲线C2的切线l，求切线l的方程．

正确答案

（Ⅰ）曲线C1：+=1；曲线C2：（x-1）2+（y+2）2=5；（3分）

曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；

曲线C2为圆心为（1，-2），半径为的圆（2分）

（Ⅱ）曲线C1：+=1与x轴的交点坐标为（-4，0）和（4，0），因为m＞0，

所以点P的坐标为（4，0），（2分）

显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y=k（x-4），

由曲线C2为圆心为（1，-2），半径为的圆得=，

解得k=，所以切线l的方程为y=(x-4)（3分）

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系中，动点P的坐标（x，y）满足方程组：

（1）若k为参数，θ（2）为常数（θ≠，k∈Z（3）），求P点轨迹的焦点坐标．

（4）若θ（5）为参数，k为非零常数，则P点轨迹上任意两点间的距离是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）由得：，把这两个式子平方相减可得

- = 4．∵θ≠，k∈z，故方程表示焦点在x轴上的双曲线，焦点为（-2，0），（2，0）．

（2）由可得，消去参数θ 可得

-= 1，故方程表示焦点在x轴上的椭圆，

任意两点间的距离存在最大值为椭圆的长轴的长2a=2（2k+2-k ）．

题型：简答题

简答题

直线l的参数方程为(t为参数），圆C：(α为参数）．

（Ⅰ）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l交圆C于A，B两点，求AB弦长．

正确答案

（Ⅰ）把圆C：(α为参数）利用同角三角函数的基本关系消去参数，

可得圆C的普通方程为x2+y2=4，它的极坐标方程为ρ=2．

（Ⅱ）把直线l的参数方程为(t为参数），消去参数，化为普通方程为y=-x+2，

圆心到直线l的距离为d==，

由垂径定理得==，故|AB|=2．

题型：简答题

简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

把参数方程（t是参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线．

正确答案

法一：由x=，得x=-1+，即=x+1 ①，又=y ②，

②÷①得：t= ③，（3分）

将③代入①得 x+1=，

整理得：x2+=1． …（6分）

因为t2+1≥1，所以x=-1+∈（-1，1]，

所求普通方程为x2+=1 （x≠-1）．…（8分）

法二：由x=，①，

y=②，

①2+（）2得x2+=1． …（6分）

因为t2+1≥1，所以x=-1+∈（-1，1]，

所求普通方程为x2+=1 （x≠-1）．…（8分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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