平面向量的数量积
共7055题

平面向量的数量积
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题型：简答题

简答题

(本小题满分14分)

已知向量a =" (" sinx , 0 ), b =" (cosx," 1), 其中 0 < x <, 求|a –b |的取值范围

正确答案

|a - b |2 Î [, )

解1: |a –b |2 =" |" (cosx–sinx, ) |2 2分

= (cosx–sinx)2 + 3 分

=" sin2(x" – ) +. 3分

0 < x < , ∴–< x - < , 2分

∴ 0 £ sin2(C– ) < , 2分

得 |a –b | Î [, ). 2分

解2: |a –b |2 = | a |2 – a·b + | b |2 2分

= sin2–sinxcosx + (cos2x +1) 2分

=sin2–sinxcosx + cos2x +

= (cosx – sinx)2 + 2 分

=" sin2(x" – ) +. 2分

0 < x < , ∴–< x - < , 2分

∴ 0 £ sin2(C– ) < , 2分

得 |a - b |2 Î [, ). 2分

题型：简答题

简答题

在△AOB中，已知=，=，•=|-|=2，当△AOB的面积最大时，求与的夹角θ．

正确答案

设∠AOB=θ，∵•=2，|-|=2，∴||2+||2-2•=4，即 ||2+||2=8…（8分）

又∵•=2，∴||||cosθ=2，cosθ=…（6分）

∴S△AOB=||||sinθ=||||

====

= …（10分）

∴当||2=4时，S△AOB最大．此时||2=4，cosθ==，

即有 θ=…（12分）

因此，△AOB面积最大时，与的夹角为…（13分）

题型：填空题

填空题

若向量，满足，，且与夹角为，则+= .

正确答案

略

题型：简答题

简答题

已知，, 且

(1) 求函数的解析式；

(2) 当时, 的最小值是－4 , 求此时函数的最大值, 并求出相应的的值.

正确答案

（1）；（2）。

试题分析：（1）根据向量数量积的坐标运算可得的解析式；（2）由（1）知

再由求出的范围，结合正弦函数的性质可求出的最大值。

(1)

即。

(2)

由, , ,

, 此时, 即。

题型：填空题

填空题

在中，，点是内心，且，

则 ▲ .

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

在平行四边形中，已知过点的直线与线段分别相交于点。若。

（1）求证：与的关系为；

（2）设，定义函数，点列在函数的图像上，且数列是以首项为1，公比为的等比数列，为原点，令，是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由。

（3）设函数为上偶函数，当时，又函数图象关于直线对称，当方程在上有两个不同的实数解时，求实数的取值范围。

正确答案

略

（1），…………………………………………2分

，从而。…………………………………………………4分

（2），，又，

…………………………………………………………6分

。

…………………………………………………………8分

设，则。，，

故存在满足条件。…………………………………………………10分

（3）当时，，又由条件得

，。

当时，，，

，从而。…………………12分

由得

。…………………………14分

设，在同一直角坐标系中作出两函数的图像，如图

当函数图像经过点时，。

…………………………………………………………16分

由图像可知，当时，与的图像在有两个不同交点，因此方程在上有两个不同的解。

…………………………………………………………18分

题型：简答题

简答题

是两个不共线的非零向量，且.

（1）记当实数t为何值时，为钝角？

（2）令，求的值域及单调递减区间.

正确答案

（1）；（2），

试题分析：(1)利用向量数量积公式可求得，当为钝角时，但时，反向，其所成角为，不符合题意应舍去。（2）因为，所以将整理成，属于配方法求最值。根据x的范围出的范围，代入解析式即可求得的值域。此函数为符合函数，根据符合函数增减口诀“同曾异减”求出其单调区间。

试题解析：（1）

,。

为钝角，所以，且。

当时，即，解得。

当时，反向时，即，解得，

综上可得，为钝角时

（2）当时，。当时，所以。的增区间是

题型：填空题

填空题

已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（13分）已知向量，

（1）求的最大值和最小值；

（2）若，求k的取值范围。

正确答案

（1）

（2）由

略

题型：简答题

简答题

已知椭圆(a>b>0)经过点M(，1)，离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知点P(，0)，若A，B为已知椭圆上两动点，且满足，试问直线AB是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．

正确答案

(1) (2) 直线经过定点

试题分析：(1) 椭圆(a>b>0)经过点M(，1) ,

且有，通过解方程可得从而得椭圆的标准方程.

(2) 设当直线与轴不垂直时，设直线的方程为

由

另一方面：

通过以上两式就不难得到关于的等式，从而探究直线是否过定点；

至于直线AB斜率不存在的情况，只需对上面的定点进行检验即可.

试题解析：

解：(1)由题意得①

因为椭圆经过点，所以②

又③

由①②③解得

所以椭圆方程为. 4分

(2)解：①当直线与轴不垂直时，设直线的方程为

代入，消去整理得 6分

由得（*）

设则

所以，

= 8分

得

整理得

从而且满足（*）

所以直线的方程为 10分

故直线经过定点 2分

②当直线与轴垂直时，若直线为，此时点、的坐标分别为

、，亦有 12分

综上，直线经过定点. 13分

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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