- 平面向量的数量积
- 共7055题
已知向量a,b是夹角为60°的两个单位向量,向量a+λb(λ∈R)与向量a-2b垂直,则实数λ的值为( )
正确答案
若向量a、b满足a+b=(2,-1),a=(1,2),则向量a与b的夹角等于
正确答案
设a,b是非零向量,若函数
f(x)=(x a+b)·(a-x b)的图象是一条直线,则必有( )
正确答案
已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,那么a·b的值为( )
正确答案
已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ等于( )
正确答案
已知向量=(sinθ,-2)与
=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,
).
(1)求sinθ和cosθ的值;
(2)若sin(θ-φ)=,0<φ<
,求cosφ的值.
正确答案
(1)∵与
互相垂直,则
•
=sinθ-2cosθ=0,
即sinθ=2cosθ,代入sin2θ+cos2θ=1得sinθ=±,cosθ=±
,又θ∈(0,
),
∴sinθ=,cosθ=
(2)∵0<ϕ<,0<θ<
,
∴-<θ-ϕ<
,则cos(θ-ϕ)=
=
,
∴cosφ=cos[θ-(θ-ϕ)]=cosθcos(θ-ϕ)+sinθsin(θ-ϕ)=
给出下列四个命题:
①若|x-lgx|<x+|lgx|成立,则x>1;
②若p=a+(a>2),q=(
1
2
)x2-2(x∈R),则p>q,
③已知||=|
|=2,
与
的夹角为
,则
+
在
上的投影为3;
④已知f(x)=asinx-bcosx,(a,b∈R)在x=处取得最小值,则f(
-x)=-f(x).
其中正确命题的序号是______.(把你认为正确的命题的序号都填上)
正确答案
①若|x-lgx|<x+|lgx|成立,则⇒x>1,①正确
②p=a+=a-2+
+2≥4(a>2),q=(
1
2
)x2-2≤
1
2
-2=4,则p≥q,②错误
③由||=|
|=2,
与
的夹角为
可得
+
与
的夹角为投影为30°,根据投影的定义可得,
+
在
上的投影为
|+
|cos30°=2
×
=3,③正确
④f(x)=asinx-bcosx,在x=处取得最小值,可得a=-b,则f(x)=asinx+acosx=
sin(x+
)
,f(-x)═
sin(
-x+
)=-
sin(x+
)=-f(x),④正确
故答案为:①③④
已知:=(cos
x,sin
x),
=(cos
,-sin
),x∈[
,
].
(1)求:|+
|的取值范围;
(2)求:函数f(x)=2sinx+|+
|的最小值.
正确答案
(1)|+
|=
=
,
∵π≤2x≤3π,
∴-1≤cos2x≤1
∴0≤|+
|≤1
(2)f(x)=2sinx+=2sinx-2cosx=2
sin(x-
)
由≤x-
≤
,
得当x=时,f(x)取得最小值-2
已知向量=(cosx,-sinx),
=(cosx,sinx-2
cosx),x∈R,令f(x)=
•
,
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当x∈(0,]时,求函数f(x)的值域.
正确答案
(Ⅰ)f(x)=cos2x-sinx(sinx-2cosx)=cos2x+
sin2x=2sin(2x+
)
∵函数y=sinx的单调增区间为[2kπ-,2kπ+
],
∴2kπ-≤2x+
≤2kπ+
,∴kπ-
≤x≤kπ+
,k∈Z
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+
],k∈Z
(Ⅱ)当x∈(0,]时,
∴<2x+
≤
,
∴-≤sin(2x+
)≤1,
即-1≤2sin(2x+)≤2
∴函数f(x)的值域为[-1,2]
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cosB=.
(1)若•
=
,求a+c的值;
(2)求+
的值.
正确答案
(1)由•
=
可得 ac•cosB=
,因为 cosB=
,所以b2=ac=2.
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得a2+c2=b2+2accosB=5,
则(a+c)2=a2+c2+2ac=9,故a+c=3.
(2)由cosB=可得 sinB=
.
由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,
于是 +
=
=
=
=
=
.
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